Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho $a$ là số thực dương tùy ý và $H=\frac{a^2}{a^3\cdot a^{-7}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hai hàm số $y=a^x$ và $y={\log }_{a}x$ (với $a>0;a\ne 1$). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Trong các khẳng định sau về hình lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây là sai?

Hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tính góc giữa hai đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và $AD$.

Biết ${\log }_{3}2=a$, ${\log }_{3}5=b$. Biểu diễn $I={\log }_3\frac{25}{6}$ theo $a,b$.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$; độ dài các cạnh bên là $2a$.

Cho hai hàm số $y=f(x)={\log }_{\sqrt{2}}x$ và $y=g(x)={\log }_2(x+2)$.

Tìm giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số $m$ sao cho hàm số $y={\log }_{2025}\left(x^2-2x+m-2024\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì với số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là $A=P{\left(1-\frac{r}{100}\right)}^n$. Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $6,1\%$ một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Với mọi số thực $a$ dương, rút gọn biểu thức $P=\sqrt{a\sqrt{a}}$, ta được $P=a^{\frac{m}{n}}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in \mathbb{Z},n>0$. Tính $m^2+n^2$.

Kim tự tháp Kheops - Ai Cập có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều, có độ dài cạnh bên và cạnh đáy là $230m$.



Xem kim tự tháp này là một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Một đoàn thám hiểm đặt 2 lá cờ lần lượt tại điểm chính giữa của một cạnh bên và một cạnh đáy đề nhau của kim tự tháp. Coi hai lá cờ này là điểm $I$ và $J$ tương ứng với trung điểm của cạnh $SC$ và $BC$. Khi đó số đo góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $CD$ bằng $a^0$. Tìm $a$.

Một người gửi 300 triệu đồng vào ngân hàng theo phương thức lãi kép với lãi suất hàng năm ổn định trong suốt thời gian gửi là $10\%$. Với định kỳ tính lãi năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó đủ tiền mua một chiếc xe hơi có giá 900 triệu đồng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$, $SA=a\sqrt{6}$.

a) Chứng minh rằng: $BD\perp (SAC)$; $(SAB)\perp (SBC)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $[S,BD,A]$.

c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các đường thẳng $SC$, $SD$ lần lượt tại $I$, $J$. Tính tỷ số $\frac{SJ}{SD}$.