Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$; độ dài các cạnh bên là $2a$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$. Đáy vuông tại $A$ nên $AC\perp AB$, và $AC\perp A{A}^{\prime }$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$). a) Do $AC\perp AB$ và $AC\perp A{A}^{\prime }$ với $AB,A{A}^{\prime }\subset (AB{A}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $AC\perp (AB{A}^{\prime }{B}^{\prime })$ → ĐÚNG. b) Vì $AC\subset (ABC)$ và $AC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, giao tuyến của $(ABC)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $AB$, nên $(ABC)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ → ĐÚNG. c) $BC=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Hình chiếu của $B^{\prime }$ trên $(ABC)$ là $B$, góc giữa $B^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{B^{\prime }CB}$ với $\tan \widehat{B^{\prime }CB}=\frac{B^{\prime }B}{BC}=\frac{2a}{2a}=1$ ⇒ góc bằng $45^{\circ }\ne 30^{\circ }$ → SAI. d) Vì $AC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $AC\perp C{B}^{\prime }$ và $AC\perp CB$, góc nhị diện $[B^{\prime },AC,B]$ là $\widehat{B^{\prime }CB}=45^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp AB$ (đáy vuông tại $A$) và $AC\perp A{A}^{\prime }$ (lăng trụ đứng) nên $AC\perp (AB{A}^{\prime }{B}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AC\subset (ABC)$ và $AC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, giao tuyến $AB$, nên hai mặt phẳng vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC=2a$, $\tan \widehat{B^{\prime }CB}=\frac{2a}{2a}=1$ nên góc bằng $45^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên góc nhị diện $[B^{\prime },AC,B]$ là $\widehat{B^{\prime }CB}=45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.