Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiếp tuyến đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;b)$. Vì $(C)$ tiếp xúc $\Delta$ tại $A(4;4)$ nên $IA\perp \Delta$, tức $\overrightarrow{IA}=(4-a;4-b)$ cùng phương với pháp tuyến $(1;3)$ của $\Delta$. Suy ra $4-a=t,4-b=3t$ với $t\ne 0$. Kết hợp $IA=\sqrt{10}$: $t^2+9t^2=10\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm 1$. Với $t=1$: $a=3,b=1$ (loại vì $b<5$). Với $t=-1$: $a=5,b=7$ thỏa $b>5$. Vậy $\frac{b}{a}=\frac{7}{5}=1,4$. Kiểm tra: $I(5;7)$, $d(I,\Delta )=|5+21-16|/\sqrt{10}=\sqrt{10}$ đúng bằng bán kính.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;b)$, bán kính $R=5$. Vì $(C)$ tiếp xúc $\Delta :3x+4y+1=0$ tại $A(1;-1)$ nên $IA\perp \Delta$ và $IA=5$. Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(3;4)$ với $|\vec{n}|=5$, suy ra $\overrightarrow{AI}=\pm (3;4)$, tức $I=(4;3)$ hoặc $I=(-2;-5)$. Vì $a<0$ nên $I=(-2;-5)$. Kiểm tra: khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ là $\frac{|3(-2)+4(-5)+1|}{5}=\frac{25}{5}=5=R$, thỏa mãn. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$.

a) $M(x_o;y_o)\in \Delta :2x-y+4=0\Rightarrow 2x_o-y_o+4=0\Rightarrow y_0=2x_o+4\Rightarrow M(x_o;2x_o+4)$
có $AM=BM\Rightarrow \sqrt{(x_o-1{)}^2+(2x_o+8{)}^2}=\sqrt{(x_o-2{)}^2+(2x_o+1{)}^2}$
$\Rightarrow 5x_o^2+30x_o+65=5x_o^2+5\Rightarrow x_o=-2\Rightarrow y_o=0\Rightarrow x_o+y_o=-2\Rightarrow$ Sai
b) $(C)$: có tâm $A(1;-4)$ và bán kính $R=d(A;\Delta )=\frac{\left|2.1-(-4)+4\right|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=2\sqrt{5}$
$\Rightarrow (C):(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=20\Rightarrow x^2+y^2-2x+8y-3=0\Rightarrow$ Đúng
c) $OA=\sqrt{1^2+(-4{)}^2}=\sqrt{17};OB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\Rightarrow OA>OB\Rightarrow$ Sai
d) Thế $A$ vào $\Delta \Rightarrow {\Delta }_A=10$; Thế $B$ vào $\Delta \Rightarrow {\Delta }_B=5$
$\Rightarrow A,B$ nằm cùng 1 phía so với $\Delta \Rightarrow AB$ không cắt $\Delta \Rightarrow$ Sai
Coi chừng hiểu nhầm $\overrightarrow{AB}=(1;7)\Rightarrow$ đường thẳng $AB$ có vtpt $\vec{n}=(7;-1)$
đường thẳng $\Delta$ có vtpt $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;-1)\Rightarrow \vec{n},\overrightarrow{n_{\Delta }}$ không cùng phương $\Rightarrow AB$ cắt $\Delta$
a) a) $M(x_o;y_o)\in \Delta :2x-y+4=0\Rightarrow 2x_o-y_o+4=0\Rightarrow y_0=2x_o+4\Rightarrow M(x_o;2x_o+4)$
có $AM=BM\Rightarrow \sqrt{(x_o-1{)}^2+(2x_o+8{)}^2}=\sqrt{(x_o-2{)}^2+(2x_o+1{)}^2}$
$\Rightarrow 5x_o^2+30x_o+65=5x_o^2+5\Rightarrow x_o=-2\Rightarrow y_o=0\Rightarrow x_o+y_o=-2\Rightarrow$ Sai
b) b) $(C)$: có tâm $A(1;-4)$ và bán kính $R=d(A;\Delta )=\frac{\left|2.1-(-4)+4\right|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=2\sqrt{5}$
$\Rightarrow (C):(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=20\Rightarrow x^2+y^2-2x+8y-3=0\Rightarrow$ Đúng
c) c) $OA=\sqrt{1^2+(-4{)}^2}=\sqrt{17};OB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\Rightarrow OA>OB\Rightarrow$ Sai
d) d) Thế $A$ vào $\Delta \Rightarrow {\Delta }_A=10$; Thế $B$ vào $\Delta \Rightarrow {\Delta }_B=5$
$\Rightarrow A,B$ nằm cùng 1 phía so với $\Delta \Rightarrow AB$ không cắt $\Delta \Rightarrow$ Sai
Coi chừng hiểu nhầm $\overrightarrow{AB}=(1;7)\Rightarrow$ đường thẳng $AB$ có vtpt $\vec{n}=(7;-1)$
đường thẳng $\Delta$ có vtpt $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;-1)\Rightarrow \vec{n},\overrightarrow{n_{\Delta }}$ không cùng phương $\Rightarrow AB$ cắt $\Delta$

(AI giải đề cho tôi)
$(C):x^2+y^2+2x-6y+5=0\iff (x+1{)}^2+(y-3{)}^2=5$, tâm $I(-1;3)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. a) Đúng. b) $d(I,d)=\frac{|-1+2\cdot 3-15|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$ → sai. c) Luôn có đúng hai tiếp tuyến của đường tròn song song với một đường thẳng cho trước → đúng. Cụ thể: tiếp tuyến song song với $d$ có dạng $x+2y+c=0$, điều kiện tiếp xúc $d(I,\text{đường thẳng})=R$: $\frac{|c+5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\iff |c+5|=5\iff c=0$ hoặc $c=-10$. d) Với $c=0$ ta được tiếp tuyến $x+2y=0$ đi qua $O(0;0)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=5$ nên tâm $I(-1;3)$, $R=\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,d)=\frac{|-1+6-15|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ một đường thẳng cho trước luôn có đúng hai tiếp tuyến của đường tròn song song với nó: $x+2y+c=0$ với $|c+5|=5\Rightarrow c=0$ hoặc $c=-10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $x+2y=0$ (ứng với $c=0$) song song với $d$ và đi qua $O(0;0)$.