Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình cần biến đổi lượng giác (Toán học Lớp 11)

$\sin 3x+\cos 2x-m\sin x=1$
$\iff 3\sin x-4{\sin }^{3}x+1-2{\sin }^{2}x-m\sin x=1$
$\iff 4{\sin }^{3}x+2{\sin }^{2}x+(m-3)\sin x=0$
Đặt $\sin x=t$ với $t\in [-1;1]$. Ta có $\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ 4t^2+2t+(m-3)=0\end{array}\right](\ast )$
Với $t=0$ thì $\sin x=0\iff x=k\pi$, có 2 nghiệm là $0;\pi$ thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Với mỗi giá trị $t\in (-1;0)$ thì phương trình $\sin x=t$ có 3 nghiệm thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Với mỗi giá trị $t\in (0;1)$ thì phương trình $\sin x=t$ có 2 nghiệm thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm $t_1;t_2$ thỏa mãn điều kiện: $-1<t_1<0<t_2<1$.
$(\ast )\iff m=-4t^2-2t+3=f(t)$



Từ bảng biến thiên trên ta có $m\in (1;3)$.

(Thang điểm: 2,0 điểm; các bước 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,5)

a) Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Chọn ĐÚNG.

b) Với $m=1$: $\frac{(\cos x+1)(\cos 2x-1)}{{\sin }^{2}x}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=0(l)\\ \cos x=-1(l)\end{array}\right]$. Vậy phương trình vô nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Chọn SAI.

c) Với $m=\frac{1}{2}$: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+l\pi \end{array}\right]$; các điểm biểu diễn nghiệm là $A,B,C,D$; Diện tích $S_{ABCD}=AB.BC=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.

d) Với $\cos 2x=m$, đặt $2x=t\Rightarrow t\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$, phương trình $\cos t=m$ có 2 nghiệm phân biệt khi $-1<m\le -\frac{1}{2}\iff -4<4m\le -2$ nên $4m\in \{-3;-2\}$. Chọn ĐÚNG.
a) Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Chọn ĐÚNG.
b) Với $m=1$, ta có: $$\frac{\cos x.\cos 2x-\cos x+\cos 2x-1}{\sin x}=0\iff \frac{(\cos x+1)(\cos 2x-1)}{{\sin }^{2}x}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]$$ $$\iff \left[\begin{array}{c}1-2{\sin }^{2}x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=0(l)\\ \cos x=-1(l)\end{array}\right]$$ Vậy phương trình vô nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Chọn SAI.
c) Với $m=\frac{1}{2}$, Ta có $\frac{(\cos x+1)\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)}{\sin x}=0\iff \left[\begin{array}{c}\cos x=-1(loại)\\ \cos 2x=\frac{1}{2}(2)\end{array}\right]$. Ta có: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+l\pi \end{array}\right]$



Khi đó, các điểm biểu diễn của nghiệm là $A,B,C,D$. Diện tích $S_{ABCD}=AB.BC=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.
d) Với $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi$: không có nghiệm $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$. Với $\cos 2x=m$, đặt $2x=t\Rightarrow t\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$. Trên $\left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$, phương trình $\cos t=m$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$ khi $-1<m\le -\frac{1}{2}\iff -4<4m\le -2$ nên $4m\in \{-3;-2\}$. Vậy d) đúng. Chọn ĐÚNG.