Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin a=\frac{3}{5}>0$ và $\cos a<0$ nên $\cos a=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vì $\cos b=\frac{3}{4}>0$ và $\sin b>0$ nên $\sin b=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Áp dụng công thức: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{4}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{9}{20}+\frac{\sqrt{7}}{5}=\frac{1}{5}\left(\sqrt{7}+\frac{9}{4}\right)$. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin \alpha =\frac{3}{5},\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ thì $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}$.

a) $A=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin (\pi +\alpha )=\cos \alpha -\sin \alpha$ → đúng. Giá trị: $A=-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$.

b) $B=\cos (\pi -\alpha )+\cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha +\tan \alpha$, không phải $\cos \alpha +\tan \alpha$ → sai. Giá trị: $B=\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{1}{20}$.

c) $A+B=-\frac{7}{5}+\frac{1}{20}=-\frac{27}{20}\ne \frac{27}{20}$ → sai.

d) $A-B=-\frac{7}{5}-\frac{1}{20}=-\frac{29}{20}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$ và $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ nên $A=\cos \alpha -\sin \alpha$ (đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ và $\cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha$ nên $B=-\cos \alpha +\tan \alpha \ne \cos \alpha +\tan \alpha$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A=-\frac{7}{5},B=\frac{1}{20}$ nên $A+B=-\frac{27}{20}$, không phải $\frac{27}{20}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A-B=-\frac{7}{5}-\frac{1}{20}=-\frac{29}{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\cos x<0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$. Ta có $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-3/5}{-4/5}=\frac{3}{4}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{4}{3}$. Vậy: a) Sai vì $\cos x<0$; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x$ thuộc góc phần tư thứ III ($\pi <x<\frac{3\pi }{2}$) nên $\cos x<0$, do đó khẳng định $\cos x>0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$ (lấy dấu âm vì $\cos x<0$ ở góc phần tư thứ III).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-3/5}{-4/5}=\frac{3}{4}>0$ đúng ở góc phần tư thứ III.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{4}{3}>0$ đúng ở góc phần tư thứ III.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ thì $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$, $\tan \alpha >0$, $\cot \alpha >0$.
a) $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$, nên mệnh đề $\sin \alpha \cdot \cos \alpha <0$ sai.
b) $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha >0$ và $\sin \alpha >0$ nên tích $>0$, mệnh đề sai.
c) $\tan (\alpha -3\pi )=\tan \alpha$ và $\cot (\alpha +3\pi )=\cot \alpha$ (chu kỳ $\pi$), nên $\tan (\alpha -3\pi )\cdot \cot (\alpha +3\pi )=\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$, mệnh đề đúng.
d) $3\alpha \in (0;\frac{3\pi }{2})$, ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{6}$ thì $\cos 3\alpha =\cos \frac{\pi }{2}=0$, còn $\alpha =\frac{\pi }{12}$ thì $\cos \frac{\pi }{4}>0$; do đó không thể khẳng định $\cos 3\alpha <0$, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha >0$, do đó $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$, không phải $<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha >0$ và $\sin \alpha >0$ nên $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)\cdot \sin \alpha >0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan (\alpha -3\pi )=\tan \alpha$, $\cot (\alpha +3\pi )=\cot \alpha$, nên tích bằng $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\alpha \in \left(0;\frac{3\pi }{2}\right)$ nên $\cos 3\alpha$ có thể dương, bằng 0 hoặc âm (ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{12}$ cho $\cos \frac{\pi }{4}>0$), không luôn $<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 89 kiểm tra các công thức cộng lượng giác cơ bản. a) $\cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b$ — đúng. b) $\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$, viết lại là $\sin a\cdot \sin b-\cos a\cdot \cos b$ — đúng. c) $\sin (a-b)=\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b$ — đúng. d) $\sin (a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b$ — đúng. Cả bốn mệnh đề đều là các công thức lượng giác chuẩn, đều đúng.
a) Đây chính là công thức cos của hiệu: $\cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b$.
b) Công thức cos của tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$, tương đương $\sin a\cdot \sin b-\cos a\cdot \cos b$.
c) Đây chính là công thức sin của hiệu: $\sin (a-b)=\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b$.
d) Đây chính là công thức sin của tổng: $\sin (a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-1=2\cdot \frac{1}{4}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$. Vậy $\cos 2\alpha =-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\in \left[0;\frac{1}{4}\right]$. Do đó $f(x)=3-\frac{1}{5}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ đạt GTNN $=3-\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}=3-\frac{1}{20}=\frac{59}{20}$ và GTLN $=3$. Tổng $=3+\frac{59}{20}=\frac{119}{20}=5,95$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<\frac{\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ I, do đó $\sin x>0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$. Ta có $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{15}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\sqrt{15}}$. a) Sai vì $\sin x>0$; b) Sai vì $\sin x=\frac{\sqrt{15}}{4}>0$; c) Đúng; d) Sai vì $\cot x=\frac{1}{\sqrt{15}}>0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<\frac{\pi }{2}$ nên $x$ ở góc phần tư thứ I, do đó $\sin x>0$. Khẳng định $\sin x<0$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}>0$, không phải $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\sqrt{15}}>0$, không phải $-\frac{1}{\sqrt{15}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 105^{\circ }=\sin (60^{\circ }+45^{\circ })=\sin 60^{\circ }\cos 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan 105^{\circ }=\tan (60^{\circ }+45^{\circ })=\frac{\tan 60^{\circ }+\tan 45^{\circ }}{1-\tan 60^{\circ }\tan 45^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$. Nhân liên hợp: $\frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{1-3}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-(2+\sqrt{3})$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 36^0=\sin 54^0$ và $\cos 86^0=\sin 4^0$. Do đó $\cos 54^0\cos 4^0-\cos 36^0\cos 86^0=\cos 54^0\cos 4^0-\sin 54^0\sin 4^0=\cos (54^0+4^0)=\cos 58^0$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \frac{37\pi }{12}=\cos \left(\frac{37\pi }{12}-2\pi \right)=\cos \frac{13\pi }{12}=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{12}\right)=-\cos \frac{\pi }{12}$. Với $\cos \frac{\pi }{12}=\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Vậy $\cos \frac{37\pi }{12}=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $2{\sin }^{2}a=1-\cos 2a$ (hệ quả công thức nhân đôi $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$). B sai vì công thức đúng là $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$, đề thiếu bình phương ở $\cos a$. C đúng: $\sin 2a=2\sin a\cos a$. D đúng: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$. Vậy khẳng định SAI là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$, $b$ nhọn nên $\cos a=\sqrt{1-{\left(\frac{8}{17}\right)}^2}=\frac{15}{17}$. Từ $\tan b=\frac{5}{12}$, với $b$ nhọn, tam giác vuông cho $\sin b=\frac{5}{13}$, $\cos b=\frac{12}{13}$. Khi đó $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\frac{8}{17}\cdot \frac{12}{13}-\frac{15}{17}\cdot \frac{5}{13}=\frac{96-75}{221}=\frac{21}{221}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<y<90^{\circ }$ và $\sin y=\frac{3}{5}$ nên $\cos y=\frac{4}{5}$, suy ra $\tan y=\frac{3}{4}$. Theo công thức cộng: $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{0,5+0,75}{1-0,5\cdot 0,75}=\frac{1,25}{0,625}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $c=\cos 2\alpha$, với $\cos 4\alpha =2{\cos }^{2}2\alpha -1=2c^2-1$.
- Tử số: $3-4c+2c^2-1=2c^2-4c+2=2(1-c{)}^2$.
- Mẫu số: $3+4c+2c^2-1=2c^2+4c+2=2(1+c{)}^2$.

Biểu thức bằng ${\left(\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\right)}^2={\left(\frac{2{\sin }^2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }\right)}^2={\tan }^4\alpha$.

Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $t=\tan \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$, dùng công thức nhân đôi: $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}$ và $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$. Khi đó $2-3\cos x=2-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}$, nên $\frac{\sin x}{2-3\cos x}=\frac{4/5}{1/5}=4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân ba: $\cos 3a=4\cos a\cos (60^{\circ }+a)\cos (60^{\circ }-a)$. Với $a=10^{\circ }$: $\cos 10^{\circ }\cos 50^{\circ }\cos 70^{\circ }=\frac{1}{4}\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}$. Do đó $\cos 10^{\circ }\cos 30^{\circ }\cos 50^{\circ }\cos 70^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{16}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$, $B$, $C$ là ba góc của tam giác nên $A+B+C=\pi$, suy ra $A+B=\pi -C$. Khi đó: $\sin C=\sin (\pi -(A+B))=\sin (A+B)$ nên A sai; $\cos C=\cos (\pi -(A+B))=-\cos (A+B)$ nên B sai; $\tan C=\tan (\pi -(A+B))=-\tan (A+B)$ nên C sai; $\cot C=\cot (\pi -(A+B))=-\cot (A+B)$ nên D đúng.