Xét dãy số $(x_n{)}_{n\ge 1}$ cho bởi $x_1=\frac{3}{4}$, $(n+2{)}^2{x}_{n+1}=n^2{x}_n-(n+1)$ với mọi $n\ge 1$.
a) Tìm giới hạn của dãy $(x_n{)}_{n\ge 1}$.
b) Đặt $y_n=\frac{16}{4x_n+1}$ với mọi số nguyên dương $n$, tìm tất cả đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn $\lim (P(n)-y_n)=0$.

1) Đặt $u_n=n^2(n+1{)}^2{x}_n$ với mọi $n\ge 1$ thì với mọi $n\ge 1$ ta có $u_{n+1}=u_n-(n+1{)}^3$.
Mặt khác $u_1=3$ nên $u_n=4-\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$ hay $x_n=\frac{4}{n^2(n+1{)}^2}-\frac{1}{4}$ với mọi $n\ge 1$.
Từ đó suy ra được $\lim x_n=-\frac{1}{4}$.
2) Ta có $y_n=\frac{16}{4x_n+1}=n^2(n+1{)}^2=n^4+2n^3+n^2$ với mọi $n\ge 1$.
Khi đó đa thức $P_0(x)=x^4+2x^3+x^2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ngược lại giả sử đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thỏa mãn yêu cầu và xét $Q(x)=P(x)-P_0(x)$ có hệ số nguyên và $Q(n)\to 0$. Nếu $Q\ne 0$ và có bậc dương thì $|Q(n)|\to \infty$, còn nếu $Q$ là hằng số thì hằng số đấy phải bằng 0.
Vì vậy $P(x)=x^4+2x^3+x^2$ là đa thức duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán.