Câu 2. (3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Tính giá trị của tích vô hạn $P=\prod _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1.u_2.u_3\dots$

LỜI GIẢI (tham khảo, SMFE - Bản luận toán học số 12, trang 3–4):
a) Bằng quy nạp, dễ dàng chỉ ra được $0<u_n<1$ với mọi $n$. Mặt khác, ta xét
$$u_{n+1}-u_n=\frac{1+u_n-2u_n^2}{2\left(\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}+u_n\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Do đó, dãy $(u_n)$ tăng. Kết hợp với việc dãy bị chặn trên bởi 1, ta suy ra dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Đặt $\lim u_n=L$, chuyển qua giới hạn, ta được
$$L=\sqrt{\frac{1+L}{2}}⟺L=1.$$
Vậy $\lim u_n=1$.

b) Ta có $u_1=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$ và
$$u_2=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{\pi }{3}}{2}}=\cos \frac{\pi }{2\cdot 3}.$$
Ta sẽ chứng minh $u_n=\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}$ bằng quy nạp. Thật vậy, giả sử $u_k=\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^{k-1}}$. Khi đó
$$u_{k+1}=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^{k-1}}}{2}}=\sqrt{\frac{1+2{\cos }^2\frac{\pi }{3\cdot 2^k}-1}{2}}=\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^k}.$$
Vì vậy theo nguyên lí quy nạp, ta được $u_n=\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}$ với mọi $n$. Như vậy ta được
$$\prod _{i=1}^n{u}_i=\prod _{i=1}^n\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^{i-1}}$$
$$=\frac{\prod _{i=1}^n\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^{i-1}}\cdot \sin \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}}{\sin \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}}$$
$$=\frac{\frac{1}{2}\prod _{i=1}^{n-1}\cos \frac{\pi }{3\cdot 2^{i-1}}\cdot \sin \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-2}}}{\sin \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}}$$
$$=\dots$$
$$=\frac{\frac{1}{2^n}\cdot \sin \frac{\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}}.$$
Khi đó, tích vô hạn ta cần tính có giá trị là
$$\prod _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1{u}_2{u}_3\cdots =\underset{n\to \infty }{\lim }\prod _{i=1}^n{u}_i=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{2^n}\cdot \sin \frac{\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}}\sim \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{2^n}\cdot \sin \frac{\pi }{3}}{\frac{\pi }{3\cdot 2^{n-1}}}=\frac{3\sin \frac{\pi }{3}}{2\pi }=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }.$$