Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi THPT Môn Toán 2025-2026

Câu 1. (3,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}.$$

Câu 2. (3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Tính giá trị của tích vô hạn $P=\prod _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1.u_2.u_3\dots$

Câu 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $f(0)\ne -1$.
ii) $f(x^2+2f(y))=2y+f^2(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Câu 4. (3,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $u_n={\left(4-\sqrt{15}\right)}^n+{\left(4+\sqrt{15}\right)}^n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $u_n$ chia hết cho 2 và $A=u_1^2+u_2^2+\dots +u_{2025}^2$ chia hết cho 8.

Câu 5. (3,0 điểm) Cho 21 ô vuông được xếp thành một hàng dọc liên tiếp nhau. Người ta tô một trong hai màu đen hoặc trắng cho mỗi ô vuông sao cho:
i) Không tô đen 2 ô liên tiếp nhau.
ii) Không tô trắng quá 2 ô liên tiếp nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên?

Câu 6. (5,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng đi qua $D$ vuông góc $IA$, cắt $IB,IC$ lần lượt tại $P,Q$.
a) Chứng minh các điểm $B,P,C,Q$ cùng thuộc một đường tròn $(\omega )$.
b) Gọi $K$ là tâm đường tròn $(\omega )$. Chứng minh ba điểm $K,A,D$ thẳng hàng.