Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$xf(x+f(y))=(x-y)f(f(-x))\text{ với mọi }x,y\in \mathbb{R}.$$

Kí hiệu mệnh đề đã cho bởi $\mathcal{P}(x,y)$ và đặt $a=f(0)$.
Từ $\mathcal{P}(0,y)$, ta được $f(a)=0$. Từ $\mathcal{P}(x,0)$, với $x\ne 0$, ta có $f(f(-x))=f(x+a)$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Vì thế phương trình ban đầu cho ta
$$f(x+f(y))=\left(1-\frac{y}{x}\right)f(x+a)(x\ne 0)$$
Nếu $f\equiv 0$ thì hiển nhiên hàm này thỏa mãn.
Xét trường hợp $f\not\equiv 0$. Chọn $t\in \mathbb{R}$ sao cho $f(t)\ne 0$. Vì $f(a)=0$ nên $t\ne a$.
Đặt $x_0=t-a$, khi đó $x_0\ne 0$ và $f(x_0+a)=f(t)\ne 0$.
Giả sử $f(u)=f(v)$. Thay $y=u$ và $y=v$, ta có
$$\left(1-\frac{u}{x_0}\right)f(t)=f(x_0+f(u))=f(x_0+f(v))=\left(1-\frac{v}{x_0}\right)f(t).$$
Vì $x_{0}f(t)\ne 0$, suy ra $u=v$. Vậy $f$ là đơn ánh.
Cho $y=x\ne 0$ trong phương trình ban đầu, ta được $f(x+f(x))=0=f(a)$, kết hợp $f$ đơn ánh nên $x+f(x)=a$ với mọi $x\ne 0$. Đẳng thức này cũng đúng khi $x=0$ do $f(0)=0$. Vậy
$$f(x)=a-x,\forall x\in \mathbb{R}.$$
Thử lại thấy hàm số này thoả mãn với mọi $a\in \mathbb{R}$.
Vậy tất cả các nghiệm hàm là $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(x)=a-x,\forall x\in \mathbb{R}$ với $a\in \mathbb{R}$.