Kiểm tra khảo sát chọn học sinh dự thi chọn đội tuyển của tỉnh, thi chọn HSG cấp Quốc gia 2026-2027 - Môn Toán - THPT Chuyên Lam Sơn

Xét dãy số $(x_n{)}_{n\ge 1}$ cho bởi $x_1=\frac{3}{4}$, $(n+2{)}^2{x}_{n+1}=n^2{x}_n-(n+1)$ với mọi $n\ge 1$.
a) Tìm giới hạn của dãy $(x_n{)}_{n\ge 1}$.
b) Đặt $y_n=\frac{16}{4x_n+1}$ với mọi số nguyên dương $n$, tìm tất cả đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn $\lim (P(n)-y_n)=0$.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$xf(x+f(y))=(x-y)f(f(-x))\text{ với mọi }x,y\in \mathbb{R}.$$

Cho tam giác $ABC$ có góc $\hat{B}>90^{\circ }$, các đường phân giác trong $BE$, $CF$ ($E\in AC$, $F\in AB$) cắt nhau tại $I$. Kí hiệu $(XYZ)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$. Gọi $N$ là điểm trên đường tròn $(AEF)$ sao cho góc $\widehat{IAN}=90^{\circ }$. Đường thẳng $NI$ cắt lại đường tròn $(AEF)$ tại $L$. Gọi $K$ là tâm của đường tròn $(AIL)$.
a) Chứng minh rằng $KA$ tiếp xúc với đường tròn $(AEF)$.
b) Chứng minh rằng 3 điểm $K,B,C$ thẳng hàng.

Cho số nguyên $n\ge 2$ và một bảng vuông kích thước $3n\times 3n$ (gồm $9n^2$ ô vuông đơn vị). Một quân cờ $T$ được đặt ở một ô nào đó trên bảng và di chuyển như sau: mỗi bước đi quân cờ $T$ hoặc di chuyển lên trên một ô, hoặc sang phải một ô hoặc đi chéo xuống-sang trái một ô (như hình minh họa bên dưới, mỗi bước đi thực chất chỉ di chuyển sang một ô chung đỉnh). Xuất phát từ ô đó, quân cờ $T$ thực hiện một số bước đi và không bao giờ đi qua một ô hai lần, rồi quay trở lại ô xuất phát. Xác định số bước đi lớn nhất có thể mà quân cờ $T$ đã thực hiện.

Trong một bảng ô vuông có kích thước $200\times 200$, tại một số ô có đặt các quân cờ màu đỏ hoặc màu xanh. Hai quân cờ được gọi là "nhìn" nhau nếu chúng nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột. Hãy tìm số quân cờ lớn nhất có thể đặt trong bảng, để mỗi quân cờ "nhìn" đúng 5 quân cờ có màu khác với màu của nó.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) Số lượng các ước số dương của $n$ là một số chẵn;
(ii) Tập tất cả các ước số dương của $n$ có thể chia thành từng cặp phân biệt (mỗi ước số chỉ xuất hiện trong một cặp), sao cho tổng của hai số trong mỗi cặp là một lũy thừa của 3.

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Dựng các tam giác đều $ABK$, $ACL$ về phía ngoài tam giác $ABC$ (hai điểm $K,C$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng $AB$ và hai điểm $L,B$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng $AC$). Gọi $T,S,R$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $BL$ và $CK$, $AB$ và $CK$, $AC$ và $BL$. Chứng minh rằng tâm đẳng phương của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KSB$, $BTC$ và $LRC$ nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.