Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2>1$ và ${\log }_{x^2+y^2}(2x+3y)\ge 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=2x+y$ bằng

Chọn A.
Theo giả thiết $x^2+y^2>1$ nên bất phương trình:
${\log }_{x^2+y^2}(2x+3y)\ge 1\iff 2x+3y\ge x^2+y^2\iff x^2-2x+y^2-3y\le 0(\ast )$.
Coi vế trái $(\ast )$ là tam thức bậc hai ẩn $x$, tham số là $y$:
Để tồn tại cặp $(x;y)$ thỏa mãn $(\ast )$ thì biệt thức ${\Delta }^{\prime }=1^2-(y^2-3y)=-y^2+3y+1\ge 0\iff \frac{3-\sqrt{13}}{2}\le y\le \frac{3+\sqrt{13}}{2}$.
Khi đó nghiệm $x$ của bất phương trình $(\ast )$ thỏa mãn:
$1-\sqrt{-y^2+3y+1}\le x\le 1+\sqrt{-y^2+3y+1}$.
Suy ra: $P=2x+y\le 2\left(1+\sqrt{-y^2+3y+1}\right)+y=2+y+2\sqrt{-y^2+3y+1}$.
Đặt $g(y)=2+y+2\sqrt{-y^2+3y+1}$ với $y\in \left[\frac{3-\sqrt{13}}{2};\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right]$.
Ta có: $g^{\prime }(y)=1+\frac{-2y+3}{\sqrt{-y^2+3y+1}}$.
$g^{\prime }(y)=0\iff \sqrt{-y^2+3y+1}=2y-3\iff \{\begin{array}{l}y\ge \frac{3}{2}\\ -y^2+3y+1=4y^2-12y+9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y\ge \frac{3}{2}\\ 5y^2-15y+8=0\end{array}\iff y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}$.
Lập bảng biến thiên của $g(y)$, ta thấy $g(y)$ đạt giá trị lớn nhất tại $y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}$.
Khi đó $\max P=g\left(\frac{15+\sqrt{65}}{10}\right)=\frac{7+\sqrt{65}}{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $y=\frac{15+\sqrt{65}}{10}$ và $x=\frac{5+\sqrt{65}}{5}$ (thỏa mãn $x^2+y^2>1$).