Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${\log }_{3}b-2{\log }_{9}a=2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương, $a\ne 1$ và ${\log }_{a}b=3$. Tính giá trị của biểu thức $P={\log }_a\sqrt{b}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\log }_2\frac{3x+3m+1}{2x^2+x}=x^2-5x+2-m$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$?

Phương trình $25^x-6\cdot 5^x+5=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Tính $x_1+x_2$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thoả mãn $0<y<2023$ và $3^x+3x-6=9y+{\log }_3{y}^3$?

Số nghiệm thực của phương trình ${\log }_3{x}^2=2$ là

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để có đúng $4$ bộ số thực $(x;y)$ thỏa mãn $2$ điều kiện sau: $\{\begin{array}{l}{\log }_3^2(26x+53)\cdot {\log }_3\frac{x^2+y^2+2x+4y+5}{729}+8{\log }_{3}m=0.\\ (x-12{)}^2+(y+2{)}^2=196.\end{array}$ Tính số phần tử của tập $S$?