Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=4^x$; b) $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$; c) $y={\log }_{\sqrt{3}}x$; d) $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Dạng 1): Vẽ đồ thị các hàm số mũ và lôgarit.

a) $y=4^x$: hàm mũ cơ số $a=4>1$, nên đồng biến trên $\mathbb{R}$; đi qua điểm $(0;1)$, tiệm cận ngang $y=0$ (khi $x\to -\infty$). Bảng giá trị: $x=-1\Rightarrow y=\frac{1}{4}$; $x=0\Rightarrow y=1$; $x=1\Rightarrow y=4$; $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=2$. Lấy các điểm $\left(-1;\frac{1}{4}\right),(0;1),\left(\frac{1}{2};2\right),(1;4)$ và vẽ đường cong đi qua các điểm này, nằm phía trên trục hoành, tăng dần từ tiệm cận $y=0$ (bên trái) lên rất nhanh (bên phải).

b) $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$: hàm mũ cơ số $0<a=\frac{1}{4}<1$, nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; đi qua $(0;1)$, tiệm cận ngang $y=0$ (khi $x\to +\infty$). Bảng giá trị: $x=-1\Rightarrow y=4$; $x=0\Rightarrow y=1$; $x=1\Rightarrow y=\frac{1}{4}$; $x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=2$. Đồ thị là đường cong đi qua $\left(-1;4\right),\left(-\frac{1}{2};2\right),(0;1),\left(1;\frac{1}{4}\right)$, giảm dần. Chú ý: đồ thị của $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ đối xứng với đồ thị $y=4^x$ qua trục $Oy$.

c) $y={\log }_{\sqrt{3}}x$: hàm lôgarit cơ số $a=\sqrt{3}>1$, nên đồng biến trên tập xác định $D=(0;+\infty )$; đi qua điểm $(1;0)$, tiệm cận đứng $x=0$ (trục $Oy$). Bảng giá trị: $x=\sqrt{3}\Rightarrow y=1$; $x=3\Rightarrow y=2$; $x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow y=-1$. Vẽ đường cong đi qua $\left(\frac{1}{\sqrt{3}};-1\right),(1;0),(\sqrt{3};1),(3;2)$, tăng dần, tiệm cận trục $Oy$ khi $x\to 0^{+}$.

d) $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$: hàm lôgarit cơ số $0<a=\frac{2}{3}<1$, nên nghịch biến trên $D=(0;+\infty )$; đi qua $(1;0)$, tiệm cận đứng $x=0$. Bảng giá trị: $x=\frac{2}{3}\Rightarrow y=1$; $x=\frac{4}{9}\Rightarrow y=2$; $x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=-1$. Vẽ đường cong đi qua $\left(\frac{4}{9};2\right),\left(\frac{2}{3};1\right),(1;0),\left(\frac{3}{2};-1\right)$, giảm dần, tiệm cận trục $Oy$ khi $x\to 0^{+}$.