Từ một tấm kẽm hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $30cm$, người ta muốn gập tấm kẽm theo hai cạnh $EF$ và $GH$ cho đến khi $AD$ và $BC$ trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Biết rằng $AD\parallel EF\parallel GH\parallel BC$. Đặt $DF=CH=x(cm)$ với $7,5<x<15$.

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, các nếp gấp EF, GH cách A, B một khoảng x (do DF = CH = x và gập đến khi A≡B, C≡D), nên AE = BG = x, EG = FH = 30 − 2x (vì 7,5 < x < 15 nên 30 − 2x > 0).
a) Sai: EG = FH = 30 − 2x, không phải 30 − x.
b) Tam giác AEG cân tại E với AE = EG = x, đáy AG = 30 − 2x. Đường cao: h = √(x² − (15 − x)²) = √(30x − 225) = √(15(2x − 15)). Diện tích S = ½(30 − 2x)√(15(2x − 15)) = (15 − x)√(15(2x − 15)) = √(15(15 − x)²(2x − 15)). Đúng.
c) f(x) = (15 − x)²(2x − 15) ⇒ f'(x) = −2(15 − x)(2x − 15) + 2(15 − x)² = 2(15 − x)(30 − 3x) = 6(15 − x)(10 − x) = 2(x − 15)(3x − 30), khác (x − 15)(3x − 30). Sai.
d) Thể tích V = S_{AEG}·FH = (15 − x)√(15(2x − 15))·(30 − 2x) = 2(15 − x)²√(15(2x − 15)). Xét g(x) = (15 − x)⁴(2x − 15), g'(x) = 0 ⇒ 2(15 − x) = 4(2x − 15) ⇒ x = 9. Khi đó V_max = 2·6²·√(15·3) = 72·3√5 = 216√5 (cm³) ≈ 483 cm³, không phải 700√3. Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
EG = FH = 30 − 2x (vì AE = BG = x), không phải 30 − x.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác AEG cân: AE = EG = x, đáy 30 − 2x, đường cao √(15(2x − 15)), S = (15 − x)√(15(2x − 15)) = √(15(15 − x)²(2x − 15)).
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) = 2(15 − x)(30 − 3x) = 2(x − 15)(3x − 30), thiếu thừa số 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
V = 2(15 − x)²√(15(2x − 15)), lớn nhất tại x = 9 với V_max = 216√5 cm³ ≠ 700√3 cm³.