Một công ty phát triển giáo dục dự định in $a(a\in \mathbb{N})$ cuốn sách luyện đề minh họa cho học sinh. Công ty đã khảo sát và tính được chi phí để xuất bản $a$ cuốn sách này được biểu diễn bởi hàm số: $C(a)=a^2-2000a+25000000$ (đồng) và chi phí phát hành cho mỗi cuốn sách là 5000 đồng.

Một vườn hoa có chiều dài 15 mét được xây dựng giữa 2 tòa nhà ở 2 hướng Đông và Tây. Biết rằng 2 tòa nhà cách nhau 150 mét và độ cao của tòa nhà hướng Đông là 105 mét, độ cao của tòa nhà hướng Tây là 60 mét. Người ta tìm địa điểm trồng hoa cách tòa nhà ở hướng Tây $x$ (mét) để thời gian chiếu sáng vào vườn hoa là lớn nhất. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Biết thời gian ánh sáng mặt trời chiếu vào vườn hoa đạt lớn nhất khi góc $\theta$ lớn nhất (như hình vẽ).

a. Một túp lều có dạng hình chóp với đáy là hình thoi cạnh bằng $4m$. Trong bốn mặt bên thì có hai mặt bên kề nhau là hai tam giác đều (như hình vẽ). Tính chiều cao của túp lều để khoảng không gian bên trong nó là lớn nhất.



b. Gieo 4 con xúc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $a_i(1\le a_i\le 6)$ là số chấm xuất hiện trên con xúc sắc thứ $i(i=1,2,3,4)$. Tính xác suất để có thể chia $a_1;a_2;a_3;a_4$ thành 2 nhóm có tổng bằng nhau?

Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều cạnh $6dm$, bạn Giáp cắt bỏ sáu tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình lục giác đều nhỏ phía trong rồi gấp lên, ghép lại tạo thành một khối chóp lục giác đều (tham khảo hình vẽ).



Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau $t$ phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t)=1929+102t^2-4t^3$ $(0\le t\le 30)$. Hỏi sau bao nhiêu giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

Người ta chế tạo một chiếc hộp chữ nhật có thể tích $520c{m}^3$, chiều cao là 13 cm. Gọi $x,y$ là các kích thước còn lại của chiếc hộp với $x>0,y>0$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
a) $y=\frac{40}{x}$.
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S(x)=80+13x+\frac{1040}{x}$.
c) $S^{\prime }(x)=\frac{26x^2-1040}{x^2}$.
d) Chi phí vật liệu làm hộp nhỏ nhất khi $x=2\sqrt{10}$.

Bạn An làm đèn lồng bằng cách dùng một sợi dây dài 28 dm cắt thành ba đoạn để uốn làm khung đèn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $x$ (dm) để làm đáy, hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các đường gấp khúc $ASC$ và $BSD$. Khung đèn sau khi hoàn thiện có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và bề mặt ngoài của đèn được dán giấy màu để trang trí, không dán mặt đáy (xem các mối nối, dán là không đáng kể).

Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

→

a) Độ dài cạnh bên của khung đèn bằng $(7-x)$ dm với $0<x<7$.
b) Khi $x=4$ thì độ dài đường cao của khung đèn là 1 dm.
c) Khi các cạnh bằng nhau thì diện tích giấy màu cần dúng là $15\sqrt{3}$ dm${}^2$.
d) Thể tích phần không gian của đèn lồng lớn nhất khi $x\approx 1,89$ dm.