Một vườn hoa có chiều dài 15 mét được xây dựng giữa 2 tòa nhà ở 2 hướng Đông và Tây. Biết rằng 2 tòa nhà cách nhau 150 mét và độ cao của tòa nhà hướng Đông là 105 mét, độ cao của tòa nhà hướng Tây là 60 mét. Người ta tìm địa điểm trồng hoa cách tòa nhà ở hướng Tây $x$ (mét) để thời gian chiếu sáng vào vườn hoa là lớn nhất. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Biết thời gian ánh sáng mặt trời chiếu vào vườn hoa đạt lớn nhất khi góc $\theta$ lớn nhất (như hình vẽ).

Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều cạnh $6dm$, bạn Giáp cắt bỏ sáu tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình lục giác đều nhỏ phía trong rồi gấp lên, ghép lại tạo thành một khối chóp lục giác đều (tham khảo hình vẽ).



Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau $t$ phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t)=1929+102t^2-4t^3$ $(0\le t\le 30)$. Hỏi sau bao nhiêu giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

Người ta chế tạo một chiếc hộp chữ nhật có thể tích $520c{m}^3$, chiều cao là 13 cm. Gọi $x,y$ là các kích thước còn lại của chiếc hộp với $x>0,y>0$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
a) $y=\frac{40}{x}$.
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S(x)=80+13x+\frac{1040}{x}$.
c) $S^{\prime }(x)=\frac{26x^2-1040}{x^2}$.
d) Chi phí vật liệu làm hộp nhỏ nhất khi $x=2\sqrt{10}$.

Bạn An làm đèn lồng bằng cách dùng một sợi dây dài 28 dm cắt thành ba đoạn để uốn làm khung đèn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $x$ (dm) để làm đáy, hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các đường gấp khúc $ASC$ và $BSD$. Khung đèn sau khi hoàn thiện có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và bề mặt ngoài của đèn được dán giấy màu để trang trí, không dán mặt đáy (xem các mối nối, dán là không đáng kể).

Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

→

a) Độ dài cạnh bên của khung đèn bằng $(7-x)$ dm với $0<x<7$.
b) Khi $x=4$ thì độ dài đường cao của khung đèn là 1 dm.
c) Khi các cạnh bằng nhau thì diện tích giấy màu cần dúng là $15\sqrt{3}$ dm${}^2$.
d) Thể tích phần không gian của đèn lồng lớn nhất khi $x\approx 1,89$ dm.

Một cửa hàng kinh doanh giày nhập một đôi với giá là 20 đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu mỗi đôi giày được bán với giá $x$ đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua $80-x$ đôi. Hỏi cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với giá bao nhiêu để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Một doanh nghiệp lập quỹ dự phòng cho một dự án dài hạn. Sau $x$ tháng kể từ khi bắt đầu $(x\ge 0)$, tổng số tiền quỹ hiện có (đơn vị: chục triệu đồng) được mô hình hóa bởi $Q(x)=3x^3+1$. Tổng khoản chi của dự án đến thời điểm đó được mô hình hóa bởi $C(x)=kx$. Để tại mọi thời điểm $x\ge 0$, quỹ luôn đủ bù cho khoản chi, cần có $Q(x)\ge C(x)$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $k$.