Cho hàm số $y=\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+1$. Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+1$ xác định trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{x}-x=\frac{1-x^2}{x}$. Trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=1$; $y^{\prime }>0$ với $x<1$ và $y^{\prime }<0$ với $x>1$, nên hàm số đồng biến rồi nghịch biến, đạt cực đại (cũng là GTLN) tại $x=1$. Giá trị: $y(1)=\ln 1-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. So sánh hai đầu mút: $y\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2-\frac{1}{8}+1=\frac{7}{8}-\ln 2\approx 0,437<\frac{1}{2}$; $y(2)=\ln 2-2+1=\ln 2-1\approx -0,307$. Vậy $M=\frac{1}{2}$, khớp với đáp án B của đề.