Trước kỳ thi vấn đáp tại một trường X, giáo sư cho sinh viên ôn tập bằng cách đưa ra danh sách 25 câu hỏi. Khi vào thi, mỗi sinh viên phải rút ngẫu nhiên 3 câu hỏi từ danh sách để trả lời. Một sinh viên chỉ học kỹ 20 câu hỏi trong danh sách. Xác suất để sinh viên đó rút được ít nhất 2 câu hỏi đã học kỹ là

Một cuộc khảo sát xã hội học được tiến hành trên một nhóm gồm $70$ người. Những người tham gia được phân loại vào $3$ nhóm dựa trên mức chi tiêu hàng tháng như trong bảng.

Biết rằng ba số $n_1,n_2,n_3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tứ phân vị thứ nhất của toàn bộ dữ liệu $70$ người là $Q_1=23,75$ (triệu đồng). Từ $70$ người đã được khảo sát, chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm $7$ người. Hãy tính xác suất để mức chi tiêu trung bình của $7$ người được chọn đúng bằng mức chi tiêu trung bình của $70$ người ban đầu (tính theo mức chi tiêu đại diện, đơn vị tính là triệu đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C ngồi vào hàng ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C không ngồi cạnh học sinh lớp B bằng

Câu 4. Một bảng hình vuông kích thước $10\times 10$ gồm $100$ hình vuông đơn vị, mỗi hình vuông đơn vị có diện tích bằng $1$ (tham khảo hình vẽ).



Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật tạo thành từ các hình vuông đơn vị của bảng. Xác suất để hình chữ nhật chọn được có diện tích là một số chẵn bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $P=a+b$ bằng bao nhiêu?

Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ nhóm. Xác suất để chọn được 2 học sinh cùng giới tính bằng:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $MNPQ$ với $M(10;10),N(-10;10),P(-10;-10),Q(10;-10)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ đều là các số nguyên nằm trong hình vuông $MNPQ$ (tính cả các điểm nằm trên các cạnh của hình vuông). Chọn ngẫu nhiên một điểm $A(x;y)\in S$, khi đó xác suất để chọn được điểm $A$ thỏa mãn $|\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}|\le 10$ bằng