Câu 4. Một bảng hình vuông kích thước $10\times 10$ gồm $100$ hình vuông đơn vị, mỗi hình vuông đơn vị có diện tích bằng $1$ (tham khảo hình vẽ).



Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật tạo thành từ các hình vuông đơn vị của bảng. Xác suất để hình chữ nhật chọn được có diện tích là một số chẵn bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $P=a+b$ bằng bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $206$.

Bảng ô vuông được tạo bởi 11 đường ngang và 11 đường dọc.
Tổng số hình chữ nhật: $n(\Omega )=C_{11}^2\cdot C_{11}^2=55\cdot 55=3025$.
Mỗi hình chữ nhật có kích thước $u\times v$ ($1\le u,v\le 10$).
Diện tích $S=u\cdot v$ là số lẻ khi và chỉ khi cả $u$ và $v$ đều là số lẻ.
Số cách chọn đoạn độ dài lẻ trên mỗi cạnh (độ dài $1,3,5,7,9$):
- Độ dài 1: 10 cách
- Độ dài 3: 8 cách
- Độ dài 5: 6 cách
- Độ dài 7: 4 cách
- Độ dài 9: 2 cách
Tổng số đoạn có độ dài lẻ: $10+8+6+4+2=30$ đoạn.
Số hình chữ nhật có diện tích lẻ: $30\times 30=900$.
Số hình chữ nhật có diện tích chẵn: $3025-900=2125$.
Xác suất: $P=\frac{2125}{3025}=\frac{85}{121}$.
Phân số tối giản có $a=85,b=121⟹P=a+b=85+121=206$.