Câu 2. Một thùng trộn tại một nhà máy sản xuất kem hiện chứa $2000\text{ lıˊt}$ nước, trong đó có hòa tan $5\text{ kg}$ đường. Nước đường có nồng độ $20\text{ gam/lıˊt}$ được bơm vào thùng với tốc độ $50\text{ lıˊt/phuˊt}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

- Khối lượng đường ban đầu là $5\text{ kg}=5000\text{ g}$. Mỗi phút bơm vào $50\text{ lıˊt}\times 20\text{ g/lıˊt}=1000\text{ g}$ đường. Sau $t$ phút, khối lượng đường là $1000t+5000$ (gam). (a đúng).
- Thể tích nước sau $t$ phút là $2000+50t$ (lít). (b đúng).
- Nồng độ đường sau $t$ phút: $f(t)=\frac{1000t+5000}{50t+2000}$. Đạo hàm $f^{\prime }(t)=\frac{1000(2000)-5000(50)}{(50t+2000{)}^2}=\frac{1750000}{(50t+2000{)}^2}>0$. Hàm số đồng biến trên $[0;+\infty )$, do đó nồng độ luôn tăng chứ không giảm. (c sai).
- Ta có ${\lim }_{t\to +\infty }f(t)=\frac{1000}{50}=20\text{ g/lıˊt}$, và vì $f(t)$ đồng biến nên $f(t)<20$ với mọi $t\ge 0$. Do đó nồng độ không bao giờ vượt quá $20\text{ g/lıˊt}$. (d đúng).