Trong một cuộc thi pha chế đồ uống gồm hai loại là $X$ và $Y$, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 cốc nước lọc và 210 g đường. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại $X$ cần 1 cốc nước lọc, 30 g đường và 1 g hương liệu. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại $Y$ cần 1 cốc nước lọc, 10 g đường và 4 g hương liệu. Mỗi cốc đồ uống loại $X$ nhận được 6 điểm thưởng, mỗi cốc đồ uống loại $Y$ nhận được 8 điểm thưởng. Gọi $x,y$ lần lượt là số cốc đồ uống loại $X$, loại $Y$ mà đội chơi cần pha chế.

a) Điều kiện của $x,y$ là các số tự nhiên và thỏa mãn:

$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 9\\ 30x+10y\le 210\\ x+4y\le 24\end{array}(I)$$

b) Điểm $M(2;1)$ thuộc miền nghiệm của hệ $(I)$.

c) Miền nghiệm của hệ $(I)$ là miền tứ giác.

d) Để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 6 cốc đồ uống loại $X$ và 3 cốc đồ uống loại $Y$.

Bà Lan được tư vấn bổ sung chế độ ăn kiêng đặc biệt bằng cách sử dụng hai loại thực phẩm khác nhau là $X$ và $Y$. Mỗi gói thực phẩm $X$ chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin $B$. Mỗi gói thực phẩm $Y$ chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin $B$. Yêu cầu hằng ngày tối thiểu trong chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin $B$. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Gọi $x$ là số gói thực phẩm loại X và $y$ là số gói thực phẩm loại Y mà bà Lan cần dùng mỗi ngày.

(2 điểm) Một đại lý kinh doanh có kế hoạch nhập về hai loại xe máy điện: loại phổ thông $A$ và loại cao cấp $B$, giá mỗi chiếc xe loại $A$ và loại $B$ lần lượt là 15 triệu đồng và 30 triệu đồng với tổng số vốn ban đầu dự định đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng. Qua khảo sát thị trường, đại lý ước tính rằng tổng nhu cầu mua xe của khách hàng trong tháng sẽ không vượt quá 50 xe. Giả sử trong một tháng, đại lý cần nhập về $x$ xe máy điện loại $A$ và $y$ xe máy điện loại $B$.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình.

b) Mỗi chiếc xe loại $A$ bán ra mang lại lợi nhuận 3 triệu đồng và mỗi chiếc xe loại $B$ mang lại lợi nhuận 5 triệu đồng. Tìm số lượng xe mỗi loại đại lý cần nhập về trong tháng để lợi nhuận thu được khi bán $x$ xe máy điện loại $A$ và $y$ xe máy điện loại $B$ là lớn nhất.

Một xưởng sơn dự định sản xuất hai loại sơn là sơn nội thất và sơn ngoại trội. Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại A và B với trữ lượng lần lượt là 6 tấn và 8 tấn. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần 2 tấn nguyên liệu A và 1 tấn nguyên liệu B. Để sản xuất một tấn sơn ngoại trội cần 1 tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B. Kết quả nghiên cứu thị trường cho thấy nhu cầu sơn nội thất không quá 2 tấn và không nhiều hơn nhu cầu sơn ngoại trội 1 tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là 60 triệu đồng, một tấn sơn ngoại trội là 30 triệu đồng (giả sử rằng số sơn sản xuất ra đều được bán hết).

Một công ty A chuyên sản xuất giấy đã nhận được một đơn đặt hàng theo tháng từ đối tác B, mỗi tháng công ty A phải cung cấp cho đối tác B ít nhất $2800kg$ giấy in và $2400kg$ giấy carton. Công ty A sử dụng hai loại nguyên liệu là gỗ keo và gỗ bạch đàn. Từ một tấn gỗ keo sản xuất ra được $200kg$ giấy in và $300kg$ giấy carton; từ một tấn gỗ bạch đàn sản xuất ra được $300kg$ giấy in và $150kg$ giấy carton. Một tấn gỗ keo có giá là 1,2 triệu đồng và một tấn gỗ bạch đàn có giá là 1,5 triệu đồng. Biết mỗi tháng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ cung cấp không quá 9 tấn gỗ keo và không quá 10 tấn gỗ bạch đàn. Số tiền nhỏ nhất mà công ty A cần dùng mỗi tháng để mua nguyên liệu là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 3. (3 điểm) Ông An cần thuê xe chở 140 tấn xi măng và 9 tấn thép để xây dựng công trình. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó xe A có 10 chiếc và xe B có 9 chiếc. Một xe loại A cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 4,5 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 tấn xi măng và 0,6 tấn thép, mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 tấn xi măng và 1,5 tấn thép. Tính số xe loại A và loại B cần thuê để ông An mất ít tiền thuê xe nhất.

Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện. Một chiếc ghế cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 công nhân, bộ phận hoàn thiện có 4 công nhân. Mỗi công nhân không làm việc quá 8 giờ một ngày và năng suất lao động của công nhân ở mỗi bộ phận đều như nhau. Thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn. Một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn, chiếc ghế để thu được lợi nhuận cao nhất?