Trong mặt phẳng, xét hình vẽ sau:
- Hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $36$ với $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.
- Hai điểm $E,F$ lần lượt thuộc hai cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{9}$.
- Parabol $(P)$ đi qua ba điểm $E,I,F$.
- Lấy điểm $X$ thuộc tia đối của tia $JI$ ($X$ có thể trùng với $J$).
- Đường thẳng $XD$ và $XC$ lần lượt cắt parabol $(P)$ tại $Y$ và $Z$.

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình trên có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Để làm một máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước 0, 9m  3m người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới, biết mặt cắt của máng xối là một hình thang cân có các kích thước như hình vẽ và Trang 5/26 máng xối là một hình lăng trụ không có nắp đậy phía trên. Hỏi x  m  bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất? 3m x x x 0,9m 0,3m 0,3m Tấm tôn 3m 0,3m 0,3m Máng xối Mặt cắt

Câu 3. Một nhà địa chất học đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm $B$ và cách $A$ một đoạn là $70\text{ km}$. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là $30\text{ km/h}$. Nhà địa chất phải đến được điểm $B$ sau $2$ giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ $A$ đến $B$ sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối $A$ và $B$ và cách $AB$ một đoạn $10\text{ km}$. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc $50\text{ km/h}$. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút.

Giả sử nhu cầu tiêu thụ một loại sản phẩm mới của doanh nghiệp $A$ được mô hình hoá bởi hàm số $p=\frac{1300}{\sqrt{x}}$, trong đó $p$ là đơn giá (tính bằng nghìn đồng) và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm. Chi phí (tính bằng nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm được cho bởi hàm số $C=10x+500$. Tìm mức giá (tính bằng nghìn đồng) để mang lại lợi nhuận tối đa.

Tuyến đường sắt cao tốc sau khi đưa vào hoạt động đã đem lại nhiều thuận lợi, thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội của khu vực. Biết rằng sau khi khai trương, thời gian giữa hai chuyến tàu liên tiếp là $t$ (đơn vị: phút), với $2\le t\le 20,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Sức chở của tàu cao tốc có liên hệ với $t$ như sau:
• Khi $10\le t\le 20$, tàu ở trạng thái đầy, sức chở là $1200$ người.
• Khi $2\le t<10$, sức chở giảm so với mức đầy; số người giảm tỉ lệ thuận với $(10-t{)}^2$. Biết rằng khi $t=5$ phút thì sức chở là $950$ người.

Gọi $P(t)$ (người) là sức chở của tàu khi thời gian giữa hai chuyến là $t$ phút. Giả sử lợi nhuận ròng của tuyến khi đó là $Q(t)=\frac{t}{5}P(t)-40t^2+660t-1372$ (triệu đồng). Hỏi khi $t$ bằng bao nhiêu phút thì lợi nhuận ròng trung bình mỗi phút $\frac{Q(t)}{t}$ đạt giá trị lớn nhất?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 20$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa cho bởi hàm chi phí $C(x)=\frac{23}{36}{x}^3+x^2+200$ (tính bằng nghìn đồng). Giá của vải lụa tơ tằm là $300$ nghìn đồng/mét và giả sử hộ luôn bán hết số sản phẩm làm ra trong một ngày. Để đạt lợi nhuận tối đa thì mỗi ngày thì hộ cần sản xuất bao nhiêu mét vải lụa.

Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp trong nửa đường tròn (tham khảo hình vẽ) có bán kính bằng $10\text{ (cm)}$ là