Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(3;0)$, $B(-1;-4)$ và đường thẳng $d:2x-y-4=0$.
a. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm $A,B$ và có tâm nằm trên đường thẳng $d$.
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $A(1;3)$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20 (AI giải, đề chỉ có câu hỏi không có đáp án):
a) Tâm $I(a;b)$ thuộc $d:2x-y-4=0$ nên $b=2a-4$, tức $I(a;2a-4)$. Vì đường tròn đi qua $A(3;0)$, $B(-1;-4)$ nên $IA=IB$.
$I{A}^2=(a-3{)}^2+(2a-4{)}^2=5a^2-22a+25$; $I{B}^2=(a+1{)}^2+(2a{)}^2=5a^2+2a+1$.
Cho bằng nhau: $-22a+25=2a+1\Rightarrow 24a=24\Rightarrow a=1$. Suy ra $I(1;-2)$, $R^2=I{A}^2=(1-3{)}^2+(-2-0{)}^2=8$.
Kiểm tra với $B$: $(-1-1{)}^2+(-4+2{)}^2=4+4=8$ ✓.
Phương trình đường tròn: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=8$.
b) Điểm $A(1;3)$ (theo đúng đề in): $I{A}^2=(1-1{)}^2+(3+2{)}^2=25>8$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn, qua $A$ có hai tiếp tuyến.
Đường thẳng qua $A(1;3)$ hệ số góc $m$: $y-3=m(x-1)\iff mx-y+3-m=0$.
Khoảng cách từ $I(1;-2)$ đến đường thẳng bằng $R=\sqrt{8}$:
$\frac{|m\cdot 1-(-2)+3-m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{5}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{8}\Rightarrow m^2+1=\frac{25}{8}\Rightarrow m^2=\frac{17}{8}\Rightarrow m=\pm \frac{\sqrt{34}}{4}$.
Vậy hai tiếp tuyến: $y-3=\frac{\sqrt{34}}{4}(x-1)$ và $y-3=-\frac{\sqrt{34}}{4}(x-1)$, tức
$\sqrt{34}x-4y+12-\sqrt{34}=0$ và $\sqrt{34}x-4y+12+\sqrt{34}=0$.
Kiểm tra: cả hai đường đều qua $A(1;3)$ và có khoảng cách từ $I$ bằng $\frac{20}{\sqrt{50}}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$ ✓.
Ghi chú: điểm $A(1;3)$ ở câu b khác điểm $A(3;0)$ ở câu a — đề in như vậy, không phải $A$ nằm trên đường tròn nên đây là hai tiếp tuyến kẻ từ $A$.