Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;2)$, $B(-2;6)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng.

Lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $A(1;1)$ và song song với $BC$. Biết $B(2;4);C(5;0)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, với hai trục tọa độ là hai xa lộ vuông góc với nhau (mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km) có hai làng $A$ và $B$ nằm ở vị trí có tọa độ lần lượt là (1; 2) và (4; 5). Để tiết kiệm chi phí hay làng dự định xây chung một bến nước tại điểm $M(a;b)$ cách đều hai làng trên một con sông thẳng có phương trình $\Delta :3x-4y-5=0$. Tính $a+b$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $A$ thuộc đường thẳng $\Delta :x+2y-4=0$. Biết $A$ có hoành độ bằng 2, lập phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với $\Delta$.

Vecto chỉ phương của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2\end{array}$ là

Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng $d$ qua $M(0;1)$ và song song với đường thẳng $d^{\prime }:x+y-10=0$ có phương trình là

Có một công viên nhỏ hình tam giác. Người ta dự định đặt một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên, biết vùng chiếu sáng của đèn là một hình tròn. Người ta đo đạc và mô phỏng các kích thước công viên. Thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxy$, khi đó các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là $A(0;2)$, $B(3;5)$, $C(3;0)$.
Gọi $I$ là điểm đặt cây đèn sao cho đèn chiếu sáng toàn bộ công viên. Tìm tọa độ điểm $I$ và tính bán kính chiếu sáng (tính theo đơn vị mét) để chi phí tiết kiệm nhất? (làm tròn đến hàng phần chục, giả sử 1 đơn vị trên hệ trục bằng 10 mét).