Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.

a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.

b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, $\widehat{BAC}=60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi (O; R) là mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, tâm O nằm trong (P). Vì SA ⊥ (P) nên SO² = SA² + AO², do đó công suất của S đối với mặt cầu là SO² − R² = SA² + AO² − R² = SA² (vì OA = R).

a) Trong tam giác vuông SAB (vuông tại A vì SA ⊥ (P)), đường cao AH suy ra SA² = SH·SB. Gọi H₁ là giao điểm thứ hai của đường thẳng SB với mặt cầu (O; R), thì SB·SH₁ = công suất của S = SA² = SH·SB ⇒ SH₁ = SH ⇒ H₁ ≡ H. Tương tự, trong tam giác vuông SAC có SK·SC = SA², nên giao điểm thứ hai của SC với mặt cầu chính là K. Vậy A, B, C, H, K cùng thuộc mặt cầu (O; R).

b) Tam giác ABC: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 4 + 9 − 6 = 7 ⇒ BC = √7. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
$$R=\frac{BC}{2\sin 60°}=\frac{\sqrt{7}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}.$$
Kiểm tra bằng tọa độ (A là gốc, S = (0,0,s)): mặt cầu qua A, B, C, H, K có phương trình x² + y² + z² = 2x + (4√3/3)y, tâm I = (1, 2√3/3, 0), R² = 7/3 — khớp kết quả trên và không phụ thuộc vị trí điểm S.