Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(2;1),B(4;5)$ và đường thẳng $\Delta :x+2y-9=0$.

Cho đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y-12=0$ và elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Viết phương trình đường tròn có tâm $I(1;-2)$ và đi qua điểm $A(4;2)$.

Đường tròn $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=16$ có bán kính bằng:

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cần nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $S$ là giao điểm của tia $MH$ với đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AS,EF,BC$ đồng quy.

b) Gọi $K$ là một điểm trên đường thẳng $HM$ sao cho $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKD$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $A$ bán kính $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$.

Câu 3. (5,00 điểm) Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$), một đường tròn $(O)$ thay đổi luôn đi qua $B,C$ và lần lượt cắt các đoạn thẳng $AB,AC$ tại $F,E$ ($F$ khác $A$ và $B$; $E$ khác $A$ và $C$). Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CF$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $P$.

a) Gọi $X,Y$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB$ và $AC$; đường thẳng $PO$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $K,L$. Chứng minh rằng $X,Y,K,L$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn $(O)$ thay đổi.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, với những giá trị nào của tham số $m$ thì đường thẳng $\Delta$ có phương trình $4x+3y+m=0$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2+y^2=9$?