Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\Delta :4x+3y+5=0$ và hai điểm $A(2;3)$, $B(1;1)$.
a) Tìm côsin góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $AB$.
b) Viết phương trình đường thẳng $d$ song song với $\Delta$ và cách điểm $B$ một khoảng bằng 5.

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện tại các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$. Biết $EF=35$ cm và $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{5}$, các mặt kệ song song với mặt đất và không cách đều nhau. Tính độ dài đoạn $HE$.

Trong một khu vực canh tác nông nghiệp, người ta thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là km). Một đường ống dẫn nước chính chạy thẳng qua hai trạm bơm $P$ và $Q$ có tọa độ lần lượt là $P(2;1)$ và $Q(10;7)$. Một hộ nông dân có trang trại nằm ở vị trí điểm $K(13;2)$ muốn lắp đặt một đường ống phụ nối từ trang trại của mình vào đường ống chính $PQ$. Tính độ dài ngắn nhất của đường ống phụ mà hộ nông dân cần phải chuẩn bị để nối từ trang trại $K$ đến đường ống chính.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-2-3t\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và $d_2:x-3y-1=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho 4 điểm $A(0;1)$; $B(1;3)$; $C(2;7)$; $D(0;3)$. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng $AC$ và $BD$.

Cho tam giác $ABC$ có $A(1;2)$, $B(-3;-1)$ và $C(3;-4)$. Tìm điều kiện của tham số $m$ để điểm $$M\left(m;\frac{m-5}{3}\right)$$ nằm bên trong tam giác $ABC$?

Trong $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x-3y+1=0$. Một vecto pháp tuyến của đường thẳng $d$ là: