Trong không gian với hệ trục tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-14=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Lấy $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức $K=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(2;3;4)$. Một mặt cầu $(S)$ bán kính $R$ luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng $AB$ luôn nằm trong $(S)$ (mọi điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ đều nằm trong $(S)$). Giá trị nguyên lớn nhất của $R$ đạt được là

Cho mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo một đường tròn. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Bán kính $R^{\prime }$ của đường tròn được tính theo công thức nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{2}$ và hai điểm $A(0;1;-4),B(4;-7;-4)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(P):2x+2y-z+10=0$ sao cho $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=A{M}^2$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $M$ tới đường thẳng $d$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+5{)}^2=12$ và điểm $A(0;1;-3)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$, cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là $ax+by+cz+14=0$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$). Giá trị của biểu thức $M=a-b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x-y+2z+1=0$, $(Q):2x+y+z-1=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $(S)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $2$ và $(S)$ cắt mặt phẳng $(Q)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $r$. Xác định $r$ sao cho chỉ đúng một mặt cầu $(S)$ thỏa yêu cầu.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$. Gọi $A,B$ là tiếp điểm và $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$. Giá trị $\cos \widehat{AIB}$ bằng