Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu.
[IMAGE_1]

Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu (đơn vị: kilômét, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+5}{-2}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}$. Trong tất cả mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Diện tích của mặt cầu đó có kết quả là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong hệ thống quản lý bay tại sân bay Cam Ranh (Nha Trang), người ta thiết lập hệ thống tọa độ $Oxyz$ với $O$ là trạm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như mặt phẳng). Đơn vị đo trên các trục là km.

Một chiếc máy bay thương mại $M_1$ đang bay theo lộ trình là đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(2;4;10)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(1;1;-0,5)$. Cùng lúc đó, một máy bay không người lái (drone) giám sát $M_2$ đang bay trên đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $B(5;-1;12)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(0;1;0,2)$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai máy bay trong quá trình di chuyển để đảm bảo an toàn hàng không (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{2}$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=4$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại các tiếp điểm là $M$ và $N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(2;-4;-1)$ tới đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=2-t\\ & z=3+2t\end{array}$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh $AB=A{A}^{\prime }=2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AC=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $B^{\prime }C$.

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD=2a,AB=BC=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $DM$ bằng