Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x-2z-6=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+t\\ z=-1-t\end{array}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ cắt đồng thời vuông góc với $d$.

Chọn B.
Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và nằm trong $(\alpha )$, do đó $\Delta$ phải đi qua giao điểm $M$ của $d$ và $(\alpha )$.
Thay phương trình tham số của $d$ vào $(\alpha )$:
$$(1+t)-2(-1-t)-6=0⟺1+t+2+2t-6=0⟺3t-3=0⟺t=1.$$
Với $t=1$, ta được giao điểm $M(2;4;-2)$.
Vì $\Delta \subset (\alpha )$ nên ${\vec{u}}_{\Delta }\perp {\vec{n}}_{\alpha }=(1;0;-2)$.
Vì $\Delta \perp d$ nên ${\vec{u}}_{\Delta }\perp {\vec{u}}_d=(1;1;-1)$.
Do đó một VTCP của $\Delta$ là:
$${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{u}}_d]=(0(-1)-(-2)1;(-2)1-1(-1);1(1)-0(1))=(2;-1;1).$$
Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(2;4;-2)$ và có VTCP $\vec{u}=(2;-1;1)$ là:
$$\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+2}{1}.$$