Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{-1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-4}{3}$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với $(P)$ và song song với $d$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;0)$, $B(-3;1;1)$, $C(3;-1;1)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ có dạng $x+by+cz+d=0$. Tính giá trị của $Q=b^3+c^3+d^3$.

Đêm ngày 27/2/2026, trường THPT Hùng Vương đã tổ chức đêm lửa trại nhân dịp Hội trại với chủ đề “Khát vọng cống hiến, lễ sống thanh niên”. Ban tổ chức bố trí một đống củi ở giữa sân trường, đỉnh của đống củi tại vị trí điểm $C$. Hai cục lửa được treo tại hai điểm $A$, $B$ trên một thanh ngang nối hai trụ ở tầng ba của khu dãy học; thanh ngang song song với mặt sân trường và cách mặt sân 12 m để gây hiệu ứng chạy lửa. Biết $AB=2a$ (với $a$ là tham số thực dương).
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ bên dưới (đơn vị trên mỗi trục là mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân trường; $Q$ và $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên $(Oxy)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ vuông góc với đoạn thẳng $PQ$ tại trung điểm $H$ của $PQ$. Biết khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABPQ)$ là 10 m và $C(0;0;1)$.

a) Tính tọa độ của điểm $A$ và $B$ theo tham số $a$.

b) Chứng tỏ ba điểm $A$, $B$, $C$ thuộc một mặt phẳng cố định và viết phương trình của mặt phẳng đó.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;1;-1)$, $B(3;2;1)$, $C(3;1;4)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;1;1)$ và $B(1;2;3)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ có dạng $ax+y+cz+d=0$. Tính giá trị của $Q=a^3+c^3+d^3$.