Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& \text{khi }x\ge 2\\ x-2& \text{khi }x<2\end{array}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2-2x$ khi $x\ge 2$ và $f(x)=x-2$ khi $x<2$:
a) Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$. Đúng.
b) Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$. Đúng.
c) Sai, vì trên đoạn $[1;2]$ hàm số là $f(x)=x-2$ (nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$ chỉ dùng cho đoạn $[2;3]$); đúng phải là ${\int }_1^{3}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2+{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3$.
d) Tính: ${\int }_1^2(x-2)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2=(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)=-\frac{1}{2}$; ${\int }_2^3(x^2-2x)dx={\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{5}{6}\ne \frac{7}{6}$. Sai.
Khớp đáp án nguồn: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì trên đoạn $[1;2]$ phải dùng $f(x)=x-2$ với nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$; biểu thức trong đề dùng nhầm nguyên hàm của $x^2-2x$ cho cả hai đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(x-2)dx=-\frac{1}{2}$ và ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\frac{4}{3}$, tổng bằng $\frac{5}{6}\ne \frac{7}{6}$.