Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $C(8;0;4)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{DB}$ làm vectơ pháp tuyến với $D(-2;6;-7)$ và $B(-7;11;-10)$.

Cho hai mặt phẳng $(\alpha ):3x-2y+2z+7=0$ và $(\beta ):5x-4y+3z+1=0$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc $(\alpha )$ và $(\beta )$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt ba trục tọa độ tại ba điểm $M(8;0;0)$, $N(0;-2;0)$ và $P(0;0;4)$. Phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận $\vec{n}=(-4;3;0)$ làm một véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;1)$, $B(2;0;1)$ và hai mặt phẳng $(P):x-2y+2z-5=0$, và $(Q):2x-4y+4z+10=0$.

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hoi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An $0,5\mathrm{m}$ và cách Nam $4,5\mathrm{m}$ (mô tả bởi hình vẽ sau). Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax+\frac{1}{2}y+cx+d=0$ và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của $a+c+d$ bằng? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100\mathrm{m}$, chiều rộng $OD=60\mathrm{m}$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ có dạng $ax+4y+cz+d=0$. Tính giá trị biểu thức $a+c+d$.