Trong không gian $Oxyz$, tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}=(1;-2;3)$ và $\vec{b}=(-2;1;2)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một máy bay đang bay ở tại vị trí $A(400;200;10)$. Theo hành trình dự định, máy bay sẽ phải bay qua vị trí $B(700;200;10)$. Tuy nhiên do thời tiết xấu, máy bay phải chuyển hướng bay đến vị trí $C(800;400;8)$. Trong quãng thời gian tránh vùng thời tiết xấu, máy bay đã phải bay chệch hướng dự định một góc $a^{\circ }$. Tìm $a$. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một phòng khách có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 6 m, chiều rộng là 4 m và chiều cao là 4 m. Một quạt trần được treo tại chính giữa trần nhà của phòng khách. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với một góc phòng và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (Hình vẽ).



Tính khoảng cách từ điểm treo quạt trần đến góc $O$ theo đơn vị mét (*kết quả làm tròn đến hàng phần mười*).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc-tơ $\vec{u}=(2;0;-2)$, $\vec{v}=(-1;-1;6)$. Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(2;0;-2)$, $\vec{v}=(8;-1;6)$. Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}$ bằng

Lúc $7h00^{\prime }$ sáng ngày 11/12/2025, có hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một vị trí trên mặt đất. Đến $8h00^{\prime }$ sáng hôm đó, chiếc thứ nhất đang ở vị trí $A$ cách vị trí xuất phát $1km$ về phía Đông và $2km$ về phía Bắc, đồng thời cách mặt đất $0,5km$; chiếc thứ hai đang ở vị trí $B$ nằm cách vị trí xuất phát $1,5km$ về phía Tây và $1km$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,7km$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại vị trí xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (tham khảo hình vẽ). Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $km$.
Từ $8h00^{\prime }$ sáng đến $8h20^{\prime }$ sáng hôm đó, khinh khí cầu thứ nhất đi thẳng đều theo hướng Đông với tốc độ $30km/h$ và độ cao không đổi để đến điểm $M$; khinh khí cầu thứ hai chuyển động thẳng đều đến điểm $N$ với tốc độ $45km/h$, biết vectơ $\overrightarrow{BN}$ cùng hướng với vectơ $\vec{u}=(2;2;1)$. Bỏ qua lực cản của gió, khoảng cách $MN$ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lúc $7h00^{\prime }$ sáng ngày 11/12/2025, có hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một vị trí trên mặt đất. Đến $8h00^{\prime }$ sáng hôm đó, chiếc thứ nhất đang ở vị trí $A$ cách vị trí xuất phát $1km$ về phía Đông và $2km$ về phía Bắc, đồng thời cách mặt đất $0,5km$; chiếc thứ hai đang ở vị trí $B$ nằm cách vị trí xuất phát $1,5km$ về phía Tây và $1km$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,7km$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại vị trí xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (tham khảo hình vẽ). Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $km$.
Từ $8h00^{\prime }$ sáng đến $8h20^{\prime }$ sáng hôm đó, khinh khí cầu thứ nhất đi thẳng đều theo hướng Đông với tốc độ $30km/h$ và độ cao không đổi để đến điểm $M$; khinh khí cầu thứ hai chuyển động thẳng đều đến điểm $N$ với tốc độ $45km/h$, biết vectơ $\overrightarrow{BN}$ cùng hướng với vectơ $\vec{u}=(2;2;1)$. Bỏ qua lực cản của gió, khoảng cách $MN$ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).