Trong không gian $Oxyz$, gọi $I(a;b;c)$ là giao điểm của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\\ z=-1+t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-y+z-2=0$. Giá trị $a+b+c$ bằng

Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;3; 4 ) , mặt phẳng ( P ) : 3 x + 3 y + 5 z + 16 = 0 và đường x −1 y +1 z + 2 thẳng d : = = . Gọi Δ là đường thẳng cắt d và ( P ) lần lượt tại M và N sao 2 −1 2   cho AN = 3 AM . Khi đó ∆ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y-z-8=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{-1}$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ và $d$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}=\vec{0}$ với $P(-1;2;-2)$. Tính $PA+PB$.

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ cắt mặt phẳng $(P):2x-3y+z-2=0$ tại điểm $I(a;b;c)$. Khi đó $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):2x+y-z-3=0$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(4;-3;2)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(5;7,5;0)$ trên đường băng (như hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(6;0;0)$, $N(0;-6;0)$ và $P(0;0;1,6)$. Tính độ cao của máy bay (đơn vị: mét) khi nó xuyên qua đám mây để hạ cánh.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P):x+2y-z-2=0$ cắt trục hoành tại điểm có tọa độ