Trong không gian $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$, thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm $M(1;-2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Khi đó côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ qua $O$ và thuộc $(Oyz)$ nên có vecto chỉ phương $\vec{u}=(0;a;b)$. Khoảng cách từ $M(1;-2;1)$ đến $d$: $d(M,d{)}^2=|\overrightarrow{OM}{|}^2-\frac{(\overrightarrow{OM}\cdot \vec{u}{)}^2}{|\vec{u}{|}^2}=6-\frac{(-2a+b{)}^2}{a^2+b^2}$. Để khoảng cách nhỏ nhất thì $\frac{(-2a+b{)}^2}{a^2+b^2}$ lớn nhất, đạt max $=5$ khi $(a;b)$ cùng phương với $(-2;1)$ (theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, dấu bằng khi $\vec{u}\parallel$ hình chiếu của $\overrightarrow{OM}$ lên $(Oyz)$, tức $\vec{u}=(0;-2;1)$). Khi đó $\cos (d,Oy)=\frac{|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.