Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ và cách điểm $M$ một khoảng lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ nên có dạng $ax+by=0$ (với $(a,b)\ne (0,0)$). Khoảng cách từ $M(1;2;3)$ đến $(P)$ là $d=\frac{|a+2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz: $|a+2b|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\sqrt{a^2+b^2}$, nên $d\le \sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $(a,b)$ cùng phương với $(1;2)$, tức $(P):x+2y=0$. Kiểm tra: $d=\frac{|1+4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, đúng bằng khoảng cách lớn nhất (bằng khoảng cách từ $M$ tới trục $Oz$). Vậy $(P):x+2y=0$.