Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z-8=0$ có phương trình $(C):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Tính giá trị của biểu thức $a+b+c+2d$.

Ngày nay, nhờ vào hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System), việc di chuyển của con người hết sức thuận lợi dù bằng đường bộ, đường sắt, đường hàng không hay đường biển. Nếu có thiết bị bắt sóng GPS, bạn luôn có thể kết nối được đến bốn vệ tinh GPS dù ở bất kì đâu trên Trái Đất. Khi thiết bị của bạn biết khoảng cách từ ít nhất ba vệ tinh đến nó, máy sẽ tính toán ra vị trí hiện tại của bạn bằng một quy trình gọi là Trilateration. Cho biết Trái Đất có dạng hình cầu bán kính bằng $\sqrt{41}.10^3$ km. Bạn An đang đứng trên mặt đất. Có ba vệ tinh báo về máy chủ tiếp nhận thông tin rằng vệ tinh thứ nhất đang cách An $3.10^3$ km, vệ tinh thứ hai đang cách An $5.10^3$ km và vệ tinh thứ ba đang cách An $4.10^3$ km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ là tâm trái đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $10^3$ km. Tại thời điểm vệ tinh thông báo về máy chủ thì tọa độ của các vệ tinh lần lượt là $I_1(4;4;6),I_2(4;9;3)$ và $I_3(8;4;3)$. Xem vị trí An là điểm $A$ và An cần di chuyển thẳng đến nhà Bình là điểm $B(4;4;3,01)$ với tốc độ không đổi là 20 km/h.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;0)$ và bán kính $R=3$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu tâm $I(a,b,c)$, bán kính $R$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$ là

Trong khối pha lê hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $8cm$ có mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng $1cm$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, đỉnh $B$ thuộc tia $Ox$, đỉnh $D$ thuộc tia $Oy$, đỉnh $A^{\prime }$ thuộc tia $Oz$. Hãy viết phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập phương nói trên.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu tâm $I(a,b,c)$, bán kính $R$ là