Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị của các trục tọa độ là mét), một thiết bị phát sóng wifi đặt tại vị trí $A(3;1;1)$ như hình vẽ. Vùng phủ sóng tốt nhất của thiết bị có bán kính bằng $11(m)$. Hỏi số giá trị nguyên của tham số $m$ để một người sử dụng điện thoại tại điểm $E(-3;8;m)$ có thể bắt được tín hiệu wifi tốt nhất của thiết bị nói trên.

Một chậu nước hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng 4 dm và chiều cao bằng 8 dm. Người ta đổ nước vào chiếm một nửa chiều cao chậu nước, mặt thoáng của nước là $MNPQ$. Khi nghiêng chậu nước sao cho các cạnh bên đều lệch một góc $30^{\circ }$ so với phương thẳng đứng thì mặt thoáng của nước là $M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$. Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, tia $Ox$ qua $D$ và tia $Oy$ qua $B$.

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển Drone giao hàng trong không gian $Oxyz$, một Drone giao hàng đang ở toạ độ $A(1;2;-1)$ di chuyển đến địa điểm nhận hàng là $B(2;-1;3)$. Mỗi đơn vị trên phần mềm bằng 1 km ngoài thực tế. Biết tốc độ của drone là $80\text{km/h}$; giả sử rằng từ vị trí giao hàng và nhận hàng không gặp chướng ngại vật, sức cản của gió không đáng kể để Drone bay theo đường thẳng. Thời gian Drone bay từ vị trí ban đầu $A$ đến địa điểm giao hàng $B$ mất bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có cùng độ dài bằng 2, biết góc giữa hai vecto bằng $30^0$. Tính $\vec{a}.\vec{b}$

Trong không gian cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có cùng độ dài bằng 2, biết góc giữa hai vectơ bằng $30^0$ . Tính $\vec{a}.\vec{b}$

Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi như là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông, tia $Oz$ hướng thẳng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi $30km$. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu $10km$ so với mặt nước biển, cách $O$ $25km$ về phía nam và $15km$ về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B(-20;15;0)$.



a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng $3\sqrt{58}km$.
b) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra trên biển di chuyển đến vị trí $C$ cách $O$ $15km$ về phía nam. Để tàu cảnh sát biển trong phạm vi theo dõi của radar thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt{3}km$.
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.
d) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 4. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $B{B}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.