Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm là $A(1;3;-1)$, $B(3;-1;5)$. Điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$. Tính giá trị biểu thức $a-b+c$?

Một mạng lưới quan trắc địa chất thiết lập hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: kilômét) để xác định tâm chấn của động đất $S(a;b;c)$ nằm dưới lòng đất. Đặt ba trạm quan trắc đặt tại các vị trí $P(10;0;0)$, $Q(0;10;0)$ và $R(0;0;0)$. Kết quả phân tích sóng địa chấn cho biết khoảng cách từ tâm chấn đến các trạm lần lượt là $SP=15$, $SQ=15$ và $SR=13$. Độ sâu của tâm chấn so với mặt đất (biết mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ và tâm chấn nằm dưới lòng đất) gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $M(1;2;-3)$, $N$ và vectơ $\vec{v}=(2;-1;-2)$ thỏa mãn điều kiện $\vec{v}=\overrightarrow{MN}$. Tọa độ của điểm $N$ là

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian $Oxyz$. Cho biết trục $d$ của nòng súng có phương trình: $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-5}$$ và hồng tâm $A(8;-19;6m+4)$. Hỏi $m$ bằng bao nhiêu vận động viên có bắn trúng hồng tâm.

Trong một khu du lịch, du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách du dây theo đường trượt từ vị trí tháp $A$ cao $15m$ sang vị trí tháp $B$ cao $10m$ trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh.



Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của $A$ và $B$ lần lượt là $A(3;2;15)$ và $B(21;27;10)$. Khi du khách ở độ cao 13 mét thì tọa độ của du khách lúc đó là $M(a;b;c)$. Tính giá trị biểu thức $T=a+b+c$ *(làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*.

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;1;-1)$ trên mặt phẳng $(Ozx)$ có tọa độ là

Câu 3. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30),N(90;120;30),P(0;120;30),Q(0;0;30)$ (Hình 34). Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ có cao độ bằng 19 (Nguồn: https://www.abiturloesung.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).



Biết rằng vecto $\overrightarrow{K_0{K}_1}$ có tọa độ là $(a;b;c)$; $a,b,c\in \mathbb{R}$. Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu?