Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $2m$ và cách bờ $AD$ là $8m$, rồi dựng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ $AB$, $AD$ và cây cọc $K$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét)

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 50 sản phẩm mỗi ngày. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày $(1\le x\le 50)$ thì chi phí và doanh thu lần lượt là $C(x)=x^3-45x^2-1000x+24$ (nghìn đồng) và $F(x)=512x$ (nghìn đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi ngày để lợi nhuận lớn nhất?

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí $A$ (tham khảo hình vẽ). Diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là bao nhiêu mét vuông, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12m?

Một nhóm bạn đang thiết kế một chiếc lều cắm trại có dạng hình chóp tứ giác đều. Để đáp ứng nhu cầu sử dụng, nhóm bạn yêu cầu chiếc lều có thể tích là 8 m${}^3$. Biết rằng phần vải bạt chỉ dùng để làm 4 mặt bên của lều, hãy xác định độ dài cạnh bên của chiếc lều sao cho lượng vải bạt cần dùng là ít nhất có thể. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của các quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đúng $k$ lần $(1⩽k⩽2)$ là $t_k=\frac{N_k}{N}$ (trong đó $N_k$ là số công nhân vi phạm đúng $k$ lần, $N$ là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau:

Nếu mỗi công nhân nộp phạt $x$ nghìn đồng $(60⩽x⩽300)$ khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt $x-20$ nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì $t_1=\frac{36}{x+10}$ và $t_2=\frac{4}{x-30}$ (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần).

Biết rằng $N$ không đổi và bằng 2400. Tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Tại một góc vườn của ông Bình, hai bức tường rào tạo với nhau một góc $60^{\circ }$. Ông ấy muốn dùng một tấm lưới dài 10 m, kết hợp với hai bức tường để làm một khu vực nuôi vịt có dạng hình thang vuông (xem hình minh họa, ông Bình cần giăng hết lưới tạo thành hai cạnh vuông góc $AD$ và $AB$, các bức tường đều có độ dài lớn hơn 10 m). Tính diện tích lớn nhất của khu vực nuôi vịt đó (đơn vị là m${}^2$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Tết Trung thu là một lễ hội truyền thống diễn ra vào đêm Rằm tháng Tám Âm lịch hằng năm. Năm nay để chuẩn bị cho Trung thu, bạn Khôi dự định làm một chiếc lồng đèn hình lăng trụ lục giác đều, bạn có một đoạn dây thép dài 54 cm để làm khung cho chiếc lồng đèn, bạn cần cắt đoạn dây thép thành 18 đoạn để làm các cạnh của hình lăng trụ. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ đó (đơn vị là cm${}^3$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).