Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $K(1;5;-2)$ và $\overrightarrow{KH}=(3;6;4)$. Tọa độ của điểm $H$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $K(1;5;-2)$ và $\overrightarrow{KH}=(5;2;-1)$. Tọa độ của điểm $H$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(6;0;0)$, $D(0;6;0)$, $A^{\prime }(0;0;6)$. Gọi $P$ là trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Tại thời điểm $t$ chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $4km$ về phía tây và $3km$ về phía nam, đồng thời cách mặt đất $1,5km$, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $2km$ về phía đông và $5km$ về phía bắc, đồng thời cách mặt đất $2km$. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilômét.



Giả sử tại thời điểm $t$ vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất là điểm $A$, vị trí chiếc khinh khí cầu thứ hai là điểm $B$.

Tại khu du lịch người ta làm những căn lều gỗ trong hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ như trong hình 2. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thể hiện như hình 2 (đơn vị đo lấy theo mét), hai điểm $A^{\prime }\left(\frac{12}{5};\frac{9}{2};0\right)$ và $B\left(\frac{6}{5};0;3\right)$. Gọi điểm $M\in AB$ sao cho $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$, điểm $N\in O^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{O^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$. Trong căn lều người dùng dây đèn trang trí được nối thẳng từ điểm $M$ sang điểm $N$. Tính độ dài dây đèn $MN$.