Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;3;1)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-2-t\\ y=2+t\\ z=2t\end{array}$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $A$ và chứa đường thẳng $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(-2;2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;1;2)$.

Vì $(\alpha )$ chứa $d$ và đi qua $A$, ta có $\overrightarrow{AP}=P-A=(-4;-1;-1)$ nằm trong mặt phẳng.

Vectơ pháp tuyến: $$\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{AP}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& 2\\ -4& -1& -1\end{array}\right|=(1\cdot (-1)-2\cdot (-1);-((-1)(-1)-2\cdot (-4));(-1)(-1)-1\cdot (-4))=(1;-9;5).$$

Phương trình mặt phẳng qua $A(2;3;1)$ với $\vec{n}=(1;-9;5)$:
$$1(x-2)-9(y-3)+5(z-1)=0\iff x-9y+5z+20=0.$$

Kiểm tra: thay $A(2;3;1)$: $2-27+5+20=0$ ✓. Thay $P(-2;2;0)$: $-2-18+0+20=0$ ✓. Vậy $(\alpha )$ chứa $d$ và đi qua $A$.