Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;2)$, đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$. Xét đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ tại hai điểm $M,N$ sao cho $A$ là trung điểm của $MN$. Biết vectơ $\vec{u}=(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Tính $a+b$.

Trận chung kết giải cầu lông phong trào do câu lạc bộ CNN Power Shot tổ chức là cuộc so tài giữa hai bạn Gia Linh và Gia Bảo. Do sơ suất, Linh đỡ cầu này lên cao, tạo điều kiện cho Bảo có cơ hội thực hiện một cú “smash”. Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào sân cầu như trong hình vẽ, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 mét, tại thời điểm Bảo đập cầu, ta thấy quả cầu bắt đầu từ điểm $A\left(12;2;\frac{5}{2}\right)$, chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left(\frac{11}{2};-1;1\right)$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $(d):\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+6=0$. Gọi giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $M$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$, đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Biết $\Delta$ đi qua điểm $N(2;b;c)$, tính tích $T=b\cdot c$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;2;-1)$ và $N(3;-4;-9)$. Đường thẳng $MN$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P):x+2y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$ phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;1;-1)$ và có một véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;3)$ là