Trong không gian, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}=(2;-1;5)$. Tọa độ vecto $-5\vec{a}$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;1;0),B(-1;0;1),C(1;-2;3)$.

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{CD}$. Số đo của góc $\phi$ bằng bao nhiêu độ?

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao $30m$ và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1m$), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30)$, $N(90;120;30)$, $P(0;120;30)$, $Q(0;0;30)$ (Hình 34). Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ có cao độ bằng 19. Biết rằng trung điểm đoạn $K_0{K}_1$ có tọa độ là $(a;b;c)$; khi đó, hãy tính giá trị $T=5a+7b+9c$.

(Nguồn: https://www.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$. Tọa độ của điểm $M$ là

Trong không gian $Oxyz$, vectơ đơn vị trên trục $Oy$ là