Trong hội trại kỉ niệm ngày thành lập Đoàn 26/3 của trường THPT X, các học sinh lớp 11A1 đã thiết kế một logo cho tấm poster lớn tại gian trại của lớp. Logo là hình ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong một đường tròn có tâm $A$. Biết rằng ngôi sao được tạo thành từ các tam giác bằng nhau, một trong các tam giác đó là tam giác $ABC$ có cạnh $AB=30cm$ và $BC=40cm$ (xem hình bên dưới).



Tính diện tích phần nền của logo (phần được tô màu đậm) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Ngôi sao 5 cánh có 10 đỉnh (5 đỉnh ngoài nằm trên đường tròn và 5 đỉnh trong), các đoạn thẳng nối tâm $A$ với tất cả các đỉnh này chia ngôi sao thành 10 tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có dạng $ABC$ với $A$ là tâm đường tròn, $B$ là đỉnh trong, $C$ là đỉnh ngoài của ngôi sao (đúng như hình vẽ).

Vì 10 tam giác bằng nhau bao quanh tâm $A$ nên góc ở tâm của mỗi tam giác là:
$$\widehat{BAC}=\frac{360^{\circ }}{10}=36^{\circ }.$$

Trong tam giác $ABC$: $AB=30cm$, $BC=40cm$, $\widehat{BAC}=36^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 36^{\circ }$$
$$1600=900+A{C}^2-60\cdot \cos 36^{\circ }\cdot AC$$
$$A{C}^2-48,541\cdot AC-700=0.$$
Giải phương trình (lấy nghiệm dương):
$$AC=\frac{48,541+\sqrt{48,541^2+2800}}{2}\approx 60,175(cm).$$
Vậy bán kính đường tròn là $R=AC\approx 60,175cm$ (vì $C$ nằm trên đường tròn).

Diện tích một tam giác $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 36^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 60,175\cdot \sin 36^{\circ }\approx 530,55(c{m}^2).$$

Diện tích ngôi sao (10 tam giác bằng nhau):
$$S_{sao}=10\cdot 530,55\approx 5305,5(c{m}^2).$$

Diện tích đường tròn:
$$S_{tr\hat{o}n}=\pi R^2=\pi \cdot (60,175{)}^2\approx 11375,3(c{m}^2).$$

Diện tích phần nền tô đậm:
$$S=S_{tr\hat{o}n}-S_{sao}\approx 11375,3-5305,5\approx 6069,8\approx \boxed{6070c{m}^2}.$$