Trong Hình 3, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và có hai cạnh góc vuông là $AB=4,BC=3$. Vẽ điểm $D$ nằm trên tia đối của tia $CB$ thỏa mãn $\widehat{CAD}=30^{\circ }$. Tính $\tan \widehat{BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh $CD$.


Hình 3

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 3: tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=4$, $BC=3$ nên $\tan \widehat{BAC}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$. Vì $D$ nằm trên tia đối của tia $CB$ (theo hình, $B$ nằm giữa $C$ và $D$) nên $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+30^{\circ }$. Áp dụng công thức tang của tổng hai góc:
$$\tan \widehat{BAD}=\frac{\tan \widehat{BAC}+\tan 30^{\circ }}{1-\tan \widehat{BAC}\cdot \tan 30^{\circ }}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{3}{4\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}+4}{4\sqrt{3}-3}.$$
Nhân tử mẫu với $4\sqrt{3}+3$ (mẫu: $48-9=39$):
$$\tan \widehat{BAD}=\frac{(3\sqrt{3}+4)(4\sqrt{3}+3)}{39}=\frac{36+9\sqrt{3}+16\sqrt{3}+12}{39}=\frac{48+25\sqrt{3}}{39}.$$
Tam giác $ABD$ vuông tại $B$: $BD=AB\cdot \tan \widehat{BAD}=4\cdot \frac{48+25\sqrt{3}}{39}=\frac{192+100\sqrt{3}}{39}$.
Vì $B$ nằm giữa $C$ và $D$:
$$CD=BD-BC=\frac{192+100\sqrt{3}}{39}-3=\frac{75+100\sqrt{3}}{39}=\frac{25(3+4\sqrt{3})}{39}\approx 6,37.$$
Kiểm tra: $\tan \widehat{BAD}\approx \frac{48+43,30}{39}\approx 2,34$, $BD\approx 9,37$, $CD\approx 6,37$, nhất quán.
Kết luận: $\tan \widehat{BAD}=\frac{48+25\sqrt{3}}{39}$ và $CD=\frac{25(3+4\sqrt{3})}{39}\approx 6,37$ (đơn vị độ dài).