Trên ngọn đồi có một cái tháp cao 90m. Đỉnh tháp $B$ và chân tháp $C$ nhìn điểm $A$ ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$ so với phương thẳng đứng. Xác định chiều cao $HA$ của ngọn đồi.

Trên mặt sàn phẳng người ta dựng một chiếc cột cao 5 m vuông góc với mặt đất. Dưới ánh nắng mặt trời, bóng của cột trên mặt đất dài 9 m. Tính góc giữa đường thẳng chứa tia nắng mặt trời và mặt đất (tính gần đúng theo đơn vị độ, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

a) Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$; $\hat{C}=60^{\circ }$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Một người đứng ở $A$, trên một tháp truyền hình $DA$ cao $380m$ so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc $B,C$ trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là $50^{\circ }$, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc $B$ trên mặt đất là $66^{\circ }$ và điểm mốc $C$ là $55^{\circ }$ (Hình vẽ). Tính diện tích tam giác $BCD$ theo đơn vị $m^2$. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Để đo khoảng cách từ vị trí $B$ trên bờ sông đến vị trí $C$ của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, bạn Minh đi dọc bờ sông từ vị trí $B$ đến vị trí $A$ cách $B$ một khoảng bằng $60m$ và đo các góc $\widehat{BAC}=85^{\circ }$, $\widehat{ABC}=45^{\circ }$. (Hình vẽ). Tính khoảng cách $BC$ theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

a) Cho tam giác $ABC$ có $BC=4;\hat{A}=30^{\circ }$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Một người đứng ở $A$, trên một tháp truyền hình $DA$ cao 370 $m$ so với mặt đất. Muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc $B,C$ trên mặt đất bên dưới, người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là $55^{\circ }$, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc $B$ trên mặt đất là $66^{\circ }$ và điểm mốc $C$ là $65^{\circ }$ (Hình vẽ). Tính diện tích tam giác $BCD$ theo đơn vị $m^2$. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Xạ phẫu Gamma Knife là phương pháp điều trị u não (không cần mở hộp sọ) bằng cách sử dụng bức xạ gamma tập trung, hội tụ chính xác vào tổn thương, không làm hại mô lành. Nếu khối u của bệnh nhân cách mặt da 6,3 cm, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u 9 cm để tránh làm tổn thương mô thì góc tạo bởi chùm tia với mặt da là $\beta$. Tính giá trị của biểu thức $P=\tan \beta$.

Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB=70m$, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{\circ }$, phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{\circ }30^{\prime }$. Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?