Trên ngọn đồi có một cái tháp cao $100m$ (hình vẽ). Đỉnh tháp $B$ và chân tháp $C$ lần lượt nhìn điểm $A$ ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$ so với phương thẳng đứng. Tính chiều cao $AH$ của ngọn đồi.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho Câu 53 tồn tại ở trang 20 (tháp $BC$ trên đồi, góc $30^{\circ }$ tại $B$, góc $60^{\circ }$ tại $C$ so với phương thẳng đứng, $AH=h$ là chiều cao đồi).

Gọi $d$ là khoảng cách ngang từ $A$ đến đường thẳng đứng qua tháp, $AH=h$ là chiều cao đồi.

Từ $C$ (chân tháp, cao hơn $A$ một đoạn $h$), điểm $A$ được nhìn dưới góc $60^{\circ }$ so với phương thẳng đứng, nên $\tan 60^{\circ }=\frac{d}{h}\Rightarrow d=h\sqrt{3}$.

Từ $B$ (đỉnh tháp, cao hơn $A$ một đoạn $h+100$), điểm $A$ được nhìn dưới góc $30^{\circ }$ so với phương thẳng đứng, nên $\tan 30^{\circ }=\frac{d}{h+100}\Rightarrow d=\frac{h+100}{\sqrt{3}}$.

Suy ra $h\sqrt{3}=\frac{h+100}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3h=h+100\Rightarrow 2h=100\Rightarrow h=50$.

Vậy chiều cao ngọn đồi $AH=50m$.