Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2-t\end{array}$ và $d_2:x-2y+m=0$ đến gốc tọa độ bằng 2.

Cho 2 điểm $A(3;1)$, $B(6;5)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ là

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm $A,B$ của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $A{A}^{\prime }=500m;B{B}^{\prime }=600m;A^{\prime }{B}^{\prime }=2200m$

Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí $A,B$ đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách đó có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $B\left(-1;3\right)$ và $C\left(3;1\right)$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{BC}$ bằng

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $B(-1;3)$ và $C(3;1)$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{BC}$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phương trình đường thẳng $BC$ là $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$, các đỉnh $A$ và $B$ thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(5;-2)$, $B(7;3)$, $C(-9;1)$. Điểm $I\left(\frac{a}{b};0\right)$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) nằm trên trục $Ox$ sao cho $\left|\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\right|$ ngắn nhất. Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?